平面悬臂梁的剪切挠度计算

平面悬臂梁的剪切挠度计算

截面为窄矩形悬臂梁，一端受集中力、集中力偶或介质布局差的影响，两侧受均匀布局法和弹性力学的结果。弹性力学平面问题中用固定端转角为零确定挠度的公式存在问题,在平面有限元计算结果基础上得出材料力学的剪切挠度公式更合理。摒弃采用固定端中点转角为零的条件,采用固定端竖向和水平位移的平方和为最小的位移边界条件,得出弹性力学解优于材料力学的结果。本文采用矩阵位移法和单位荷载法求得平面悬臂梁在集中力、力偶和均布荷载作用下梁的挠度公式,分析了不同解法、泊松比和剪切系数对剪切挠度的影响。1矩阵位移法求解所采用的单元刚度矩阵运用最小位能原理建立的泛函导出的弯曲梁单元、在经典梁单元的基础上引入剪切影响的梁单元和有精确积分得的Timoshenko梁单元刚度矩阵ke1,ke2,ke3如下:ke1=EΙl3[126l-126l6l4l2-6l2l2-12-6l12-6l6l2l2-6l4l2]ke2=EΙ(1+b)l3[126l-126l6l(4+b)l2-6l(2-b)l2-12-6l12-6l6l(2-b)l2-6l(4+b)l2]ke1=EIl3⎡⎣⎢⎢⎢⎢126l−126l6l4l2−6l2l2−12−6l12−6l6l2l2−6l4l2⎤⎦⎥⎥⎥⎥ke2=EI(1+b)l3⎡⎣⎢⎢⎢⎢126l−126l6l(4+b)l2−6l(2−b)l2−12−6l12−6l6l(2−b)l2−6l(4+b)l2⎤⎦⎥⎥⎥⎥其中,b=12EΙμGAl2b=12EIμGAl2;μ为截面剪切校正因子;ke2与文献忽略轴力影响的单元刚度矩阵相同。Timoshenko梁单元ke3=keb+kes。keb=EΙl[0000010-100000-101]kes=GAμl[1l/2-1l/2l/2l3/3-l/2l2/6-1-l/21-l/2l/2l2/6-l/2l3/3]2均布荷载作用下节点等效荷载向量keb=EIl⎡⎣⎢⎢⎢⎢0000010−100000−101⎤⎦⎥⎥⎥⎥kes=GAμl⎡⎣⎢⎢⎢⎢1l/2−1l/2l/2l3/3−l/2l2/6−1−l/21−l/2l/2l2/6−l/2l3/3⎤⎦⎥⎥⎥⎥2均布荷载作用下节点等效荷载向量Ρe=ql12[6l6-l]Τ3位移法挠度计算3.1位移法图1所示,把梁作为一个单元,且h=l,求得梁的挠度wp:ωp={Ρl3/(3EΙ)Ρl33EΙ(1+(1+υ)μ2)Ρl33EΙ(1+4[4-(μ+μυ)2]-14μ(1+υ)(2+μ+μυ)(1)式中,自上至下分别为有ke1,ke2,ke3单元计算结果,以下均同。图2所示,把梁作为一个单元,且h=l,求得梁的挠度ωM:ωΜ={Μl2/(2EΙ)Μl2/(2EΙ)Μl22EΙ(1-12μ(1+υ)+1)(2)图3,把梁作为一个单元,且h=l,求得梁的挠度ωq:ωq={ql4/(8EΙ)ql48EΙ(1+2(1+υ)μ3)ql48EΙ(1+3+2μ(1+υ)3[1+2μ(1+υ)])(3)3.2单位荷载法荷载作用下结构弹性位移公式如下式:δ=∑∫ΜˉΜEΙds+∑∫μFˉFGAds+∑∫ΝˉΝEAds(4){ωp=Ρl33EΙ(1+μ(1+υ)2h2l2)ωΜ=Μl2/(2EΙ)wq=ql48EΙ(1+2μ(1+υ)3h2l2)(5)若采用Cowper推出的μ=12+11υ10(1+υ){ωp=Ρl33EΙ[1+35(1+11υ12)h2l2]ωΜ=Μl2/(2EΙ)ωq=ql48EΙ[1+(45+1115υ)h2l2](6)这里需要说明的是式(5)μ=1.2时与文献中所列出的材力结果相同。式(6)与文献所得结果相同。4比较与结论为了与已有文献比较将受集中力、弯矩,均布荷载的梁端中点挠度ωp,ωM,ωq表示为:ωp=Ρl33EΙ(1+α)‚ωΜ=Μl22EΙ(1+β),ωq=ql48EΙ(1+γ)表1和表2分别列出了μ=12+11υ10(1+υ)及泊松比为0.25和0.3(低合金钢的泊松比0.25～0.3范围内)采用不同方法得到的α,γ值。表3和表4列出了剪切不均匀系数μ=1.2(即Cowper推出的μ=12+11υ10(1+υ),泊松比υ=0)及泊松比为0.25和0.3采用不同方法得到的两种的泊松比的x,γ值。可以看出,采用经典梁单元的基础上引入剪切影响的梁单元和单位荷载法建立的剪切挠度公式,当采用Cowper推出的剪切不均匀系数公式时,图1所示的悬臂梁挠度公式与文献的结果完全一致;采用经典梁单元的基础上引入剪切影响的梁单元和单位荷载法建立的剪切挠度公式完全一致,与文献的精度相当。由精确积分得的Timoshenko梁单元刚度矩阵计算得出的结果误差较大,且值偏小。主要是因把整个梁作为一个单元计算,精度较差;利用最小势能原理求得的位移近似解得弹性变形能是真实变形能的下界,即近似的位移场在总体上偏小,也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬。采用Cowper推出的剪切不均匀系数和文献剪切不均匀系数μ=1.2结果相差较小,且剪切不均匀系数μ=1.2是结果偏大。Timoshenko梁单元计算的结果随泊松比的增大,剪切挠度减小,其他解法均随泊松比的增大,剪切挠度增大,且误差随着随泊松比的增大而增大。端部受弯矩悬臂梁,Timoshenko梁单元刚度矩阵计算得出β=-12μ(1+υ)+1为负值。结果偏小,其它方法计算出的结果均一致。而由经典梁单元的基础上引入剪切影响的梁