2023-2024学年苏教版必修第二册 15-3　第二课时　独立事件 学案

第二课时独立事件新课程标准解读核心素养结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型利用独立性计算概率数学运算3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.问题上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？

知识点相互独立性1.定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么称A，B为相互独立事件.2.相互独立事件的概率公式（1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；（2）若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.提醒如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）不可能事件与任何一个事件相互独立.（）（2）必然事件与任何一个事件相互独立.（）（3）“P（AB）＝P（A）P（B）”是“事件A，B相互独立”的充要条件.（）（4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.（）答案：（1）√（2）√（3）√（4）√2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（）A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85答案：B题型一相互独立事件的判断【例1】判断下列每组事件是否是相互独立事件：（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.解（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响（3）记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝36＝12，P（B）＝26＝13，P（AB所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立.通性通法判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·P（B）；（2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响.1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（）A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥解析：A对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.2.（多选）下列事件中，A，B不是相互独立事件的是（）A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D.A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”解析：BCD把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响，也不相互独立.故选B、C、D.题型二相互独立事件同时发生的概率【例2】某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85.求：（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件分别为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.85.（1）“三科成绩均未获得第一名”可以用ABCP（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝[1－P（A）][1－P（B）]·[1－P（C）]＝（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.（2）“恰有一科成绩未获得第一名”可以用（ABC）＋（ABC）＋（ABC）表示.由于事件ABC，ABC和ABC两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（B）·P（C）＋P（A）P（B）P（C）＝[1－P（A）]·P（B）P（C）＋P（A）·[1－P（B）]P（C）＋P（A）P（B）[1－P（C）]＝（1－0.9）×0.8×0.85＋0.9×（1－0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.通性通法1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求每个事件发生的概率，再求其积.2.公式P（AB）＝P（A）P（B）可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23（1）求恰有两个项目成功的概率；（2）求至少有一个项目成功的概率.解：（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×1－只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为1－所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19（2）三个项目全部失败的概率为1－45×1－5所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝89不同赛制的可行性探究乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间.某校要通过选拔赛选取一名学生参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局.现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制.1.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×（1－0.6）＝0.648.2.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63（1－0.6）＋6×0.63（1－0.6）2＝0.68256.3.两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由.（各局胜负相互独立，各选手水平互不相同）提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p＞12.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2（1－p）采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3（1－p）＋6p3（1－p）2.而P4－P3＝p2（6p3－15p2＋12p－3）＝3p2（p－1）2（2p－1）.因为p＞12，所以P4＞P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大所以五局三胜制更能选拔出最强的选手.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.解：（1）甲连胜四场的概率为116（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116乙连胜四场的概率为116丙上场后连胜三场的概率为18所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋11.分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：①事件A与事件B相互独立；②事件B与事件C相互独立；③事件C与事件A相互独立.正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：DP（A）＝12，P（B）＝12，P（C）＝12，P（AB）＝P（AC）＝P（BC）因为P（AB）＝14＝P（A）P（B），故A，B相互独立因为P（AC）＝14＝P（A）P（C），故A，C相互独立因为P（BC）＝14＝P（B）P（C），故B，C相互独立.故选2.若P（AB）＝19，P（A）＝23，P（B）＝13，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是A.事件A与B互斥B.事件A与B相互对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B互斥且相互独立解析：C因为P（A）＝1－P（A）＝1－23＝13，而P（B）＝13，所以P（A）P（B）＝19.又因为P（AB）＝19，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立.又因为P（A）P（B）＝19≠0，所以事件A3.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是（）A.13B.C.49D.解析：A由题意知逆时针方向跳的概率为23，顺时针方向跳的概率为13，青蛙跳三次要回到A只有两条途径，第一条按A→B→C→A，P1＝23×23×23＝827；第二条按A→C→B→A，P2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A上的概率为P14.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是（A.18B.C.14D.解析：B设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC＋ABC＋ABC，且A，B，C相互独立，ABC，ABC，ABC互斥，所以P（E）＝P（ABC＋ABC＋ABC）＝P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（B）P（C）＝12×12×12＋12×12