2023-2024学年苏教版必修第二册 14-2-1　简单随机抽样 14-2-2　分层抽样 学案

14.2抽样14.2.1简单随机抽样14.2.2分层抽样新课程标准解读核心素养1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法数据分析2.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法数学运算3.在简单的实际情景中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题逻辑推理某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生近视的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.问题（1）上述问题中总体有什么特征？（2）采用抽签法合适吗？若不合适，应该用什么方法抽取样本？

知识点一简单随机抽样1.定义：一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本（n＜N），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样.2.简单随机抽样的方法（1）抽签法①定义：抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取n次，就得到一个容量为n（n≤N）的样本；②抽签法的步骤：（ⅰ）将总体中的N个个体编号；（ⅱ）将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；（ⅲ）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（ⅳ）从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；（ⅴ）将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出.这样就得到一个容量为k的样本.对个体编号时，也可以利用已有的编号，如从全班学生中抽取样本时，利用学生的学号作为编号.（2）随机数表法①随机数表：制作一个表，这个表由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中任一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之间是独立的.这样的表称为随机数表.②随机数表法：按一定的规则从随机数表中选取号码的抽样方法.③随机数表法的优缺点（ⅰ）优点：操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题，在总体容量不大的情况下是行之有效的；（ⅱ）缺点：如果总体中的个体数很多，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也不方便快捷.④用随机数表法抽取样本的步骤（ⅰ）对总体中的个体编号（每个号码位数一致）；（ⅱ）在随机数表中任选一个数；（ⅲ）从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过.如此继续下去，直到取满为止；（ⅳ）根据选定的号码抽取样本.提醒抽签法与随机数表法的异同点：相同点①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；②都是从总体中逐个不放回地进行抽取不同点①抽签法比随机数表法操作简单；②随机数表法更适用于总体中个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数表法，可以节约大量的人力和制作号签的成本简单随机抽样的特点有哪些？提示：简单随机抽样的特点有4个：①有限性；②逐一性；③不放回性；④等可能性.下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A.坛子中有一个大球，4个小球，搅拌均匀后，随机取出一个球B.在校园里随意选三名同学进行调查C.在剧院里为抽取三名观众调查，将所有座号写在形状大小相同的纸片上，放入箱子搅匀后逐个抽取，共取三张D.买彩票时随手写几组号解析：CA不是，因为球的大小不同，造成机会不均等.B、D不是，因为随意选取，随手写出并不说明对每个个体机会均等.C符合随机抽样的定义，是简单随机抽样.知识点二分层抽样1.定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”.2.分层抽样的步骤（1）将总体按一定标准分层；（2）计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）.3.分层抽样的特点（1）适用于总体由明显差异的几部分组成的情况；（2）抽取的样本更好地反映了总体的情况；（3）是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性相同.提醒使用分层抽样应注意的问题：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠；②抽取比例由每层个体占总体的比例确定；③各层抽样按简单随机抽样进行.1.下面的抽样方法是分层抽样的是（）A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔20分钟抽一包产品，称其质量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：CA、B不是分层抽样，C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.2.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B.100C.180D.300解析：C设样本中的老年教师人数为x，则3201600＝x900，解得x题型一简单随机抽样的概念【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；（2）质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；（3）某社区组织100名党员研读二十大报告，学习二十大精神；（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签；（5）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查.解序号是不是简单随机抽样原因（1）不是被抽取样本的总体中个体的个数不是有限的（2）不是不是不放回地抽取（3）不是这100名党员是挑选出来的，不满足“等可能性”（4）是符合简单随机抽样的四个特点（5）不是不是“逐个抽取”通性通法1.简单随机抽样有4个特点：①不放回；②总体数量有限；③逐个抽取；④等可能性.2.“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能性，但一次性抽取不符合简单随机抽样的定义.（多选）下面抽样方法不是简单随机抽样的是（）A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.可口可乐公司从仓库中的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D.从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）解析：ABCA中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误；D是简单随机抽样.故选A、B、C.题型二抽签法【例2】某市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通，为保障市民出行安全，还需要从某社区的28名志愿者中随机抽取6人组成志愿者小分队.请用抽签法设计抽样方案.解抽样方案如下：第一步，将28名志愿者编号，号码分别是1，2，…，28.第二步，将28个号码分别写在形状、大小、材质等均相同的号签上.第三步，将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.第四步，从容器中连续不放回抽取6个号签，并记录上面的号码.所得号码对应的志愿者就是组成志愿者小分队的成员.通性通法抽签法的应用条件及注意点一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异是否明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，使用的是抽签法的序号是.

①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员.解析：由抽签法的特点知①使用的是抽签法.答案：①题型三随机数表法【例3】有一批机器，编号为1，2，3，…，112.请用随机数表法抽取5台作为样本，写出抽样过程.（随机数表见教科书）解第一步，将原来的编号调整为001，002，003，…，112.第二步，在随机数表中任选一个数字作为开始，任选一个方向作为读数方向.比如，选第2行第33个数字“0”作为开始，向右读.第三步，从“0”开始，向右读，每次读取三位数字，凡不在001～112中的数跳过去不取，前面已经取过的数也跳过去不取，依次可得到073，101，105，037，099.第四步，对应原来编号37，73，99，101，105的机器便是要抽取的对象.通性通法当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整，用调整后的号码抽取以后再对应找出原来的号码，调整时可用如下方法：（1）在位数少的数前添加“0”，凑齐位数.如1，2，…，15可调整为01，02，…，15；（2）把原来的号码加上10的倍数.如：1，2，3，…，15，每数加10可调整为11，12，…，25；90，91，…，100，…，110，每数加10可调整为100，101，…，110，…，120，每数加100可调整为190，191，…，200，…，210；（3）把个体重新编号，按新编号抽取完以后，再对应找出原来的号码.某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座位号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座位号是（）495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A.23B.09C.02D.16解析：D从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于34的数依次为21，32，09，16，其中第4个为16，故选D.题型四分层抽样及其应用【例4】一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样.步骤如下：（1）分层.按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.（2）确定每层抽取个体的个数.抽样比为100500＝1则在不到35岁职工中抽125×15＝25（人在35岁至49岁职工中抽280×15＝56（人在50岁及50岁以上职工中抽95×15＝19（人）（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.（4）综合每层抽样，组成样本.1.（变条件）本例把50岁及50岁以上的人数改为96人，仍抽取100名职工作为样本，问应该怎样抽取？解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样，步骤如下：（1）分层.按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.（2）确定每层抽取个体的个数.在50岁及50岁以上职工中先随机剔除1人，抽样比为100500＝1则在不到35岁职工中抽125×15＝25（人在35岁至49岁职工中抽280×15＝56（人再在剩余职工中抽95×15＝19（人）（3）在各层分别运用简单随机抽样法抽取样本.（4）综合每层抽样，组成样本.2.（变设问）本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各年龄段依次抽取多少人？解：按200500＝25的比例抽样，所以依次抽取125×25＝50（人），280×25＝112（人），95×25＝通性通法分层抽样中有关抽样比的计算方法对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解：（1）样本容量n总体容量N（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系式求解.常州某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人.解析：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的2故“剪纸”社团的人数为800×25＝因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx＋y＋z所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×1答案：61.简单随机抽样和分层抽样之间的共同点是（）A.都是从总体中逐个抽取的B.抽样过程中每个个体被抽到的机会是相等的C.将总体分成几层，然后各层按照比例抽取D.两者之间没有共同点解析：B由两种抽样方法的定义可知，在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，故选B.2.下列抽样中，适合用抽签法的是（）A.从