一元二次函数

一元二次函数一、一元二次函数的定义形如y=ax2+bx+c(其中a≠0)的函数称之为一元二次函数。二、一元二次函数的图像及性质：y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0图像对称轴x=顶点坐标P(,)最值当x=时，y有最小值：ymin=当x=时，y有最大值：ymax=单调性在对称轴的左侧，函数单调递减；在对称轴的右侧，函数单调递增在对称轴的左侧，函数单调递增；在对称轴的右侧，函数单调递减一般情况下，我们会把一元二次函数改写成：写成这样的目的主要是：〔1〕可以看出对称轴方程及顶点坐标；抛物线的对称轴的方程为：x=-顶点坐标为〔-，)〔2〕可以得到最大、小值：当a＞0，y取最小值，y=当a<0，y取最大值，y=由一元二次函数的对称轴，从而我们可以知道一元二次函数的单调性：当a>0时，〔-∞，-]为单调减区间；[-，+∞〕为单调增区间。当a<0时，[-，+∞〕为单调减区间；〔-∞，-]为单调增区间〔3〕解答平移问题方便。平移的法那么遵循两条：左加右减，上加下减。题型一：平移图像，求新的解析式【例题1】：y=x2-2x+3向左移动一个单位，向上移动两个单位，移动后的解析式是什么？解答：y=(x-1)2+2根据“左加右减〞的原那么，向左移动一个单位，那么有：y=(x-1+1)2+2根据“上加下减〞的原那么，向上移动两个单位，那么有y=(x-1+1)2+2+2所以，最终的结果是：y=x2+4题型二：三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题2】一元二次方程y=ax2+bx+c经过点A(1，3),B(2，4),C(3，11),求函数的解析式。解答：根据题意有：解上面的方程组，得：所以：y=3x2-8x+8【例题3】函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(-3，0),B(1，0),并且经过点〔4,21〕，求函数的解析式。一般情况下，如果告诉你一元二次方程的两个解x1，x2；这个时候我们设：y=a(x-x1)(x-x2)最为方便。解答：设y=a(x-1)(x+3)因为函数经过点〔4,2〕，所以：21=a(4-1)(4+3)解得：a=1所以：y=(x-1)(x+3)即：y=x2+2x-3注意：最后我们最好将一元二次函数化为一般式。【例题4】抛物线的顶点坐标为〔1,16〕，并且抛物线与x的交点间的距离为8，求抛物线解析式。【分析】遇到有顶点坐标的题型，我们通常设y=a(x+m)2+n,这样由抛物线的顶点坐标，我们就可以知道m、n的值，只需求出a的值即可。解答：设y=a(x-1)2+16方程a(x-1)2+16=0的两个根为：x1=1+,x2=1-所以：x1-x2=2所以：2=8解得：a=-1所以：y=-(x-1)2+16即：y=-x2+2x+15三、给定区间的一元二次函数：函数y=ax2+bx+c〔a≠0，且m≤x≤n〕，求最大值最小值的问题。以抛物线开口向上为例：y=ax2+bx+c〔a≠0，且m≤x≤n〕M、N点在对称轴的两侧M、N点在对称轴的同侧图像最大值、最小值最小值：ymin=计算f(m),f(n);最大值：f(m)、f(n)中的最大值。同在左侧：最大值：f(m)，最小值f(n)；同在右侧：最小值：f(m)，最大值f(n)。【例题】：y=x2-2x-5,其中，-1≤x≤5，求函数的最值。解：y=x2-2x-5=(x-1)2-6x=1是一元二次函数的对称轴；因为-1≤x≤5，在对称轴的两侧，所以：ymin=-6f(-1)=-2f(5)=10f(5)>f(-1)所以：ymax=10四、一元二次函数与坐标轴的交点：1.对于函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕与y轴的交点，是很好求的，其交点是(0,c)。那么，函数与x轴的交点呢？实际上，一元二次函数与x轴的交点，就是一元二次方程的解。可以分成以下的三种情况。=当>0时，函数与x轴有两个交点，当=0时，函数与x轴有一个交点，当<0时，函数与x轴没有交点。特别注意的是，在这一种情况下，如果二次项系数a>0，那么，函数值恒大于0；如果a<0，函数值恒小于0。2.如果一元二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴有交点，那么，在x的取值范围内，必然会存在两个点M(m,f(m))、N(n,f(n))使得f(m)·f(n)<0，换言之，如果在一元二次函数上存在两个点M(m,f(m))、N(n,f(n))使得f(m)·f(n)<0，那么，在m到n的范围内一元二次方程一定有解；反之，如果一元二次函数在x的取值范围内任意两个点都存在f(m)·f(n)>0，那么，一元二次函数与x轴没有交点，或者说这个一元二次方程无解。【例题】：方程x2+(a-6)x+a2+5=0有两个根，一个根大于2，一个根小于2，求a的取值范围。【分析】由图像可知，如果方程的两个根一个大于2一个小于2，那么，由于二次项系数大于0，函数上必定存在一点Q(q,f(q)),使得f(q)>0，那么必然存在f(2)<0,否那么就是两个根都大于2或者两个根都小于2。解答：由题意可知：f(2)<0,即有：4+2(a-6)+a2+5<0整理可得：a2+2a-3<0所以：〔a+3)(a-1)<0即：-3<a<1试想一想，如果这里我们把题目改为“两个根都大于2〞或者“两个根都小于2〞，那么，解得的a的结果应该是什么？答案：都小于2时，无解。a不存在。都大于2时，<a<-3或a>1注意：解一元二次函数的有关的题目时，待定系数法和数形结合法是我们常用的方法。因此，学习一元二次函数，画图的技能是我们必备的技能，这样能够减少计算的步骤，有效减少失误和计算次数。五、一元二次函数的对称性：如果存在f(x+m)=f(m-x)，那么，一元二次函数的对称轴就是x=m；如果存在(p,f(p)),(q,f(p)),那么，一元二次函数的对称轴就是x=。例如，点(1,3),(3,3)是一元二次函数的上的点，由于纵坐标相等，那么，一元二次函数的对称轴就是〔1+3〕÷2=2，即：x=2六、一元二次函数与几何题的结合：一元二次函数与几何题的结合已经成为现在中考的必考考题，而且是压轴题。所以，这里，列出专题来讲。从几何图形的角度来说，可以结合相似三角形、圆、平行四边形等等；从思维角度来说，可以运用到数形结合、分类讨论。基于这些，一元二次函数与几何的结合是必须重视的内容。【题型一】一元二次函数与相似三角形〔黄冈—2023-25〕如图：抛物线方程C1：y=(x+2)(x-m)〔m>0〕与x轴的交点为B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧。〔1〕假设抛物线C1经过点M(2，2)，求实数m的值。〔2〕在〔1〕的条件下，求△BCE的面积；〔3〕在〔1〕的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；〔4〕在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？假设存在，求m的值，假设不存在，说明理由。解答：〔1〕将点M(2，2)代入，得2=〔2+2〕〔2-m〕解得：m=4(2)由〔1〕可知：y=(x+2)(x-4),那么点B(-2，0),C(4，0),E(0，2)所以：BC=6，OE=2，S△BCE=×2×6=6(3)由〔1〕可知，一元二次函数的对称轴为x=1，点H在对称轴上，所以有BH=CH，要使得BH+EH最小，就是要使得EH+HC最小，此时，E、H、C在一条直线上。设对称轴与x轴交于点F，那么有：HF:EO=CF:CO,由于EO=2，CF=4-1=3，CO=4，解得HF=，从而：点H的坐标为〔1，〕【解法2】：由点E(0,2),C(4，0),解得，经过C、E两点的解析式为y=-x+2,当x=1时，y=,即：点H的坐标为〔1，〕】(4)由于图像过定点B(-2，0),E(0，2)，所以有∠EBO=45°；如图①作BF∥CE交抛物线与点F，如果有BC2=CE·BF，那么就必然有△BEC∽△FCB。作FF’⊥X轴，垂足为F’。此时，BC=m+2,CE=，设点F的坐标为(x,(x+2)(x-m)),由FF’∥OE知：△EOC∽△FF’B，从而：FF’:BF’=EO:CO，此时：=解得：x=m+2,即F’(m+2,0)由CO:CE=BF’:BF,得：,从而解得：，由于BC2=CE·BF，所以有：〔m+2〕2=·整理方程得：0=16，此时无解。图①如图②，BF⊥BE交抛物线与点F，作FF’⊥X轴，此时，∠EBC=∠CBF=45°，如果BC2=BE·BF，那么：△CEB∽△FCB，设F(x,(x+2)(x-m)),由于FF’=BF’,所以有：(x+2)(x-m)=x+2,解得：x=2m,所以：F’(2m,0),所以：BF’=2m+2，BF=〔2m+2〕由BC2=BE·BF，得：〔m+2〕2=2·〔2m+2〕,解得：m=2±2因为m>0,所以：m=2+2综合以上，m=2+2【注意】1、第四题比拟繁琐，计算的时候要小心。2、注意到函数的定点，从而有等腰直角三角形。3、分类讨论，一个平行条件，一个垂直条件，这种题目是近几年中考的热点。【题型二】一元二次函数与等腰三角形〔扬州—2023—27〕如图：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1，0),B(3，0),C(0,3),直线l是抛物线的对称轴。〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，点P的坐标；〔3〕在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由。解答：题目〔1〕〔2〕可以参照上题解答。题目〔3〕要求直接写出点的坐标。因为是等腰三角形，所以，应该有以下几种可能性：①对称轴与x轴的交点，此时：AO=OM=1，且CO⊥AM，所以，根据三线合一，△CAM为等腰三角形。此时，点M(1，0)。②设点M(1，m)，由MA=MC可得：MA2=MC2,从而：〔-1-1〕2+m2=(0-1)2+(3-m)2,解得：m=1此时，点M〔1,1〕③设点M〔1，m〕，由AM=AC可知：〔-1-1〕2+m2=(-1)2+32解得：m=,此时，点M(1，)或者M〔1，-〕【注意】分类讨论是解决顶点问题的重要的手段，分类时一定要面面俱到，不能有遗漏。【题型三】一元二次函数与直角三角形〔广州—2023—24〕如图：抛物线y=x2x+3与x轴相交于点A,B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C。〔1〕求A,B的坐标；〔2〕设点D是抛物线的对称轴上的一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标。〔3〕假设直线l过点F(4,0),M为直线l上的动点，当以A,B,M为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，求l的解析式。解答：〔1〕y=x2x+3=〔x+4〕(x-2),从而点A(-4，0),B(2，0),抛物线的对称轴方程为x=-1(2)①如图①，过点B作BD∥CA交对称轴与点D，点E为AB的中点，那么有：△AFE≌△BDE，从而：ED=FE;由于对称轴∥Y轴，所以：AE:AO=EF:CO=3:4，解得：EF=,所以，点D〔-1，-〕。图①图②②如图②，在对称轴上取一点D’，使得D’F=FD,此时，S△AD’C=S△ACD=S△ABC,由于：ED=,ED=EF,所以：D’F=3EF=,此时，点D’(-1，)〔3〕如图，过A点作M1M6⊥X轴，此时，△ABM1一定为直角三角形，同理，过点B作M3M4⊥X轴，△ABM1一定为直角三角形。以AB为直径，点E为圆心作圆，如果圆与l相切与点M2，那么△ABM2也一定是直角三角形，这样，点M在直线l上移动，以点A，B，M就只能构成三个直角三角形。由A(-4，0),B(2，0),E(-1，0),F(4，0)可知：AF=6，EB=EM2=3,EB=5；从而在直角△FEM2中，FM2==4；由于△FM2E∽△FAM1，从而：EM2：M1A=FM2：AF，解得：M1A=6，所以，点M1(-4，6)，又因为l1经过点F,M1，所以：l1的解析式为y=。同样的道理，l2的解析式为：【注意】解第三题时，第一，自己要画出函数图形，留下关键的点，其他无关的线条去掉，这样可以清楚的看到其中的几何关系；第二，E点为AB的中点，如果有2EM2=AB，那么△ABM2就一定是直角三角形，这时，点M2就是圆E的切线。画出切线的好处就在于，我们知道过圆外的一点可以作两条切线，所以第三问的答案是两个，防止漏解。【题型四】一元二次函数与平行四边形〔江西—2023—24〕将抛物线C1:y=x2+沿x轴翻转，得到抛物线C2,如下列图所示。〔1〕请直接写出C2的解析式；〔2〕现将C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A,B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新的抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D,E。①当B,D是线段AE的三等分点的时候，求m的值；②在平移的过程中，是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情况？假设存在，求出此时m的值；假设不存在，请说明理由。解答：〔1〕将图像沿着x轴翻转，就是两个图像关于x轴对称。C2：:y=x2(2)①C1，C2与x轴的交点的坐标都是〔-1,0〕，〔1,0〕，所以：AB=DE=2如图一：如果此时B,D是AE的三等分点，那么，因为AE=3，AD=BD=BE=1，又因为OD=OB,所以：OD=，即：m=如图二：如果此时B,D是AE的三等分点，就有AB=BD=DE=2，B点的原坐标为〔1,0〕，现在的坐标为〔-1,0〕，所以：m=1-(-1)=2图一