《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第五章 第22课 微分方程的应用举例

22第22第课微分方程的应用举例微分方程的应用举例微分方程的应用举例第课22PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9微分方程的应用举例微分方程的应用举例第课22

课题微分方程的应用举例课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：掌握微分方程的实际应用。思政育人目标：通过学习微分方程的应用，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：微分方程的应用教学难点：利用微分方程解决实际问题教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（20min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（43min）【教师】利用例题讲解微分方程在实际问题中的应用例1设曲线经过点，且其上任一点的切线在轴的截距是切点纵坐标的3倍，求此曲线方程．解设所求曲线方程为为其上任一点，则过点的切线方程为，其中是切线上的动点，是曲线上任意固定的点．令，则切线在轴上的截距为，且由题设知，，即．这是一阶线性微分方程，分离变量得，求得其通解为．又因为曲线过点，代入通解，得，所以所求曲线方程为．例2已知某商品的需求量对价格的弹性为，若该商品的最大需求量为（即当时，），试求需求量与价格的函数关系，并求当价格为2元时，对该商品的需求量．解由经济学需求理论，有，整理，分离变量得，两边积分得（为任意常数）．当时，，代入上述方程得，所以．当时，．例3设有化学物质，且与反应可以生成．已知是二级反应，即反应速度与两种反应物的浓度的乘积成正比．设开始时反应物A，B的浓度分别是a，b，生成物的浓度是，求时刻的浓度．解设x，y，z分别为A，B，C在时刻的浓度，依题意，有．时刻反应物A，B的浓度x，y分别为，，代入上式，可得微分方程．这是一个可分离变量的微分方程，下面分两种情形求解．（1）当时，此时通解为，因为，所以，故特解为或，进一步，解得时刻的浓度为．（2）当时，通解为，因为，所以，故时刻的浓度为．【学生】掌握微分方程在几何图形、商业和化学领域的应用学习微分方程的实际应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（20min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课传授新知（20min）【教师】利用例题讲解微分方程在实际问题中的应用例4某湖泊的水量为，每年排入湖泊内的含污染物的污水量为，流出湖泊的污水量为．已知2017年底湖中的含量为，超出了国家规定指标．为了治理污染，从2018年初起，限定排入湖中含的污水浓度不超过，问至多需多少年，湖中污染物的含量降至以内？（注：设湖中的浓度是均匀的．）解设从2018年初（）起第年湖中污染物的总量用表示，浓度为，，分别表示第年污染物的排入与排出速度，则．而在时间间隔内，排入湖中的量为，流出湖中的量为，因此，在内污染物的改变量为，用分离变量法解此微分方程得，代入初始条件，可得，于是．令，得，即至多经过年，湖中污染物的含量降至以内．例5设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．分析物体下落过程中，仅受阻力和重力作用，可根据牛顿第二定律建立方程．解根据题意，如图5-3所示建立坐标系．设降落伞下落速度为，受到重力为，方向与相同，空气阻力为(为阻力系数)，方向与相反，因此降落伞所受外力为．根据牛顿第二运动定律，有，因而得到微分方程该方程是可分离变量微分方程，分离变量得，两端积分的，即．由初始条件，可解得，故所求速度函数为.由此可见，随着时间的增大，速度逐渐接近于常数，且不会超过，也就是说，跳伞后的开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于匀速运动.图5-3例6弹簧一端固定在顶板上，下端挂一质量为的重物（见图5-4），将重物自平衡位置O拉至处，然后给以速度，求弹簧的振动方程．图5-4分析当重物处于平衡状态是，弹簧因挂重物而产生的弹性恢复力与重物所受重力相抵消，所以在考虑重物相对平衡位置的振动时，可以不考虑这两个，而只考虑使重物回到平衡位置的那部分弹性力和重物在振动过程所受的阻力．解取重物的平衡位置为原点，轴垂直向下．设在振动过程中时刻，重物的位置为．弹性力：（：弹性系数，为常数，负号表示与位置移动方向相反），阻力：（：阻力系数，阻力与运动速度成正比，方向与速度方向相反）．根据牛顿第二定律，可得振动方程，整理得．设，于是方程变为，（5-33）这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为，特征根为，．下面分三种情况讨论．（1）当（大阻尼的情形）时，为不同的负实数，方程（5-33）通解为，可以看出，重物不做周期运动，且当时，这说明重物随时间无限增加而趋于平衡位置．（2）当（临界阻尼的情形）时，，方程（5-33）的通解为，与上述情况相同，重物也不做周期运动，且当时，这说明重物随时间无限增加而趋于平衡位置．（3）当（小阻尼的情形）时，特征方程有一对共轭复根，方程（5-33）的通解为．设，其中

，则上式可写成(其中)．及由物体振动的初始条件决定，这时物体做振幅衰减振动，当时，振幅，即物体随时间无限增加而趋于平衡位置．说明（1）以上三种情况下，物体都逐渐趋于平衡位置，但过程是不一样的．情况（3）是振幅衰减的振动，而情况（1），（2）都是至多经过一次平衡位置．（2）如果忽略阻尼，即，那么，这时微分方程（5-33）变成，则通解为，这是一个周期性的振动，称为简谐振动或无阻尼振动．（3）如果在弹性力和阻力之外还有一个周期性外力，则这种振动称为强迫振动，所满足的方程为．（4）机械振动方程可推广到电磁振荡中，在应用上通常用电磁振荡来模拟机械振荡．【学生】掌握微分方程在几何图形、商业和化学领域的应用学习微分方程的实际应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（20min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min