《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第一章 第4课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较

第课第课极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较4极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较第课4PAGE2 PAGE2PAGE3 PAGE3极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较第课4

课题极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握极限存在准则与两个重要极限。（2）理解无穷小阶的比较。思政育人目标：通过学习极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：极限存在准则Ⅰ、极限存在准则Ⅱ教学难点：利用两个重要极限公式求极限的方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（20min）（10min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（35min）【教师】讲解准则Ⅰ与第一个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用准则Ⅰ（夹逼准则）设数列，，QUOTE满足：（1）QUOTE∃N0∈Z+n>N时，QUOTEan≤cn≤bn，（2）（为常数），则．例1求．解对，有，，而，．由夹逼准则可知．上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：准则Ⅰ'（夹逼准则）若函数在点的某去心邻域内满足：（1），（2），则有．作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限：．证明在图1-25所示的单位圆中，设圆心角，切圆于，且与延长线相交于，于是有，即，，不等式两边同时除以得，不等式两边同时取倒数得，．当时，，有，同样可得．所以当时，．又因为，，由判别准则I知．图1-25例2求．解．例3求．解设，则当时，，于是．例4求．解．例5求．解设，则时，，所以．【学生】掌握准则Ⅰ与第一个重要极限【教师】讲解准则Ⅱ与第二个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用定义1如果数列满足，则称数列是单调递增的；如果数列满足，则称数列是单调递减的．单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列．准则Ⅱ（单调有界原理）单调有界的数列必存在极限．不妨设是一单调递增的数列，且，使对，，则数列的通项随的增大而不断在数轴上向右平移，但不会超过点．因此，必然无限接近于某个实数，便是数列的极限，如图1-26所示．图1-26证明：．（详见教材）例6求．解法1设，则当时，，所以．解法2．例7求．解．例8求．解结论一般地，有公式．例9求．解【学生】掌握准则Ⅱ与第二个重要极限学习极限存在准则与两个重要极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（10min）【教师】组织学生讨论以下问题1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？2．单调递增（递减）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解

（20min）【教师】讲解无穷小阶的比较，并通过例题讲解介绍其应用定义1设，是同一变化过程中的两个无穷小量，（1）若，则称是比高阶的无穷小量，记为．（2）若，则称是比低阶的无穷小量．（3）若（c是不等于零的常数），则称与是同阶无穷小量．特别地，若，则称与是等价无穷小量，记作．例1证明：当时，．证明因为，所以时．例2证明：当时，．证明令，则．因为，所以当时，，，故时，．类似可证：时，．例3证明：当时，．证明令，则，当时，有，．定理1与是等价无穷小的充分必要条件为．故有：；；；；；．定理2（等价无穷小量代换定理）若，，且存在，则．证明．定理2表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用一个与它等价的无穷小来代替，这样可以简化很多函数极限的计算．下面给出一些常用的等价无穷小公式（当时）：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．例4求．解因为当时，，，所以．例5求．解因为当时，，，所以．例6求．解．例7求．解原式．【学生】理解无穷小阶的比较学习无穷小阶的比较。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（10min）【教师】组织学生讨论以下问题1．当时，与或是否是同阶无穷小量或等价无穷小量？2．若，，且存在，则是否成立？若结论正确请给予证明；若结论不正确请举反例．【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题1.6，习