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4.1直线的方向向量与平面的法向量第三章内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑自主预习新知导学一、直线的方向向量1.设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称

为直线l的

方向向量

.已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得

=ta.反之,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.2.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(

).A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)解析:=(2,4,6)=2(1,2,3).答案:A二、平面的法向量合作探究释疑解惑探究一直线方向向量的应用【例1】

已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为(3,4,0),(2,5,5),(0,3,5).(2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求点P的坐标.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.探究二求平面的法向量【例2】

如图3-4-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立适当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.图3-4-1解:如答图3-4-1为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.答图3-4-1(变问法)本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.答图3-4-2用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z).(5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1).(6)得结论:得到平面的一个法向量.探究三直线的方向向量与平面的法向量的应用【例3】

如图3-4-2,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.图3-4-2证明:由题意知,以B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴,可建立空间直角坐标系,如答图3-4-3.答图3-4-3用向量法判定线线垂直,只需说明两直线的方向向量垂直即可.

思想方法利用转化思想解决线面位置关系探究问题【典例】

如图3-4-3,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.图3-4-3解:存在点F,当F为棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下:由题意知PA⊥AB,PA⊥AD,从而PA⊥平面ABCD.过点A作AH⊥AD,交BC于点H,则AH,AD,AP两两垂直,H为BC的中点,AH⊥BC.图3-

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