2022年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）北京2022年冬奥会会徽（冬梦），是第24届冬季奥林匹克运动会使用的标志，主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志组成，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a＝a2 B．a8÷a2＝a4 C．（a2b）2＝a4b2 D．（a2）3＝a53．（3分）一组数据：2，3，4，3，则中位数是（）A．2 B．3 C．3.5 D．44．（3分）如图是由6个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，则这个几何体的俯视图的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．35．（3分）一个不透明的袋子里装有100个除颜色外都相同的小球，其中红色小球有3个，绿色小球有16个，蓝色小球有21个，其余全部为白色小球，搅匀后从中任意摸出一个小球，则摸到（）色小球的概率最小．A．红 B．绿 C．蓝 D．白6．（3分）一副三角板按如图方式摆放，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠F＝30°．点A在边EF上，点D在边BC上，且EF∥BC，AB、DE相交于点O，则∠BOE的度数为（）A．75° B．90° C．105° D．120°7．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．28．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（）A．6x+14＝8x B．6（x+14）＝8x C．8x+14＝6x D．8（x﹣14）＝6x9．（3分）阅读材料：一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．根据以上材料，解决下列问题：如图，在⊙O中，AB是直径，AB＝，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，是半圆弧的，则CD的长为（）A． B． C． D．110．（3分）如图，将直线y＝﹣x向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于点C，以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE，点E恰好落在双曲线上，连接CE，CD，若CD∥x轴，四边形BCED的面积为8，则k的值为（）A．﹣12 B． C． D．﹣4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相应位置上．）11．（3分）苏州站是苏州重要的交通枢纽之一，站房建筑面积为54000平方米，采用线上高架候车结构，包括南北两个站房和高架站房，并在北站房设置站前高架和落客平台，是苏州市地标建筑之一．将数据54000用科学记数法表示为．12．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．13．（3分）若单项式2xym+1与单项式是同类项，则m﹣n＝．14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为．15．（3分）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为m．16．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当△ABP为直角三角形时，m的值为．17．（3分）如图，在△OAB中，OB＝2，以O为圆心、1为半径的⊙O与AB相切于点C，与OA、OB分别交于点E、F，点P是上一点，连接PE、PF，若∠ACE＝16°，则∠P的度数为．18．（3分）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则AB+OB的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）19．（5分）计算：．20．（5分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．21．（6分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°+2．22．（6分）如图，点D在射线AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求证：AB＝AC．23．（8分）圆周率π是无限不循环小数，中国古代数学家对圆周率的研究做出了重大贡献．历史上，我国数学家张衡、刘徽、祖冲之都对π有过深入研究．有研究发现：随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为；（2）某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上3幅数学家的画像中随机选取2幅，求其中有1幅是祖冲之的概率（用画树状图或列表的方法）．24．（8分）4月23日是“世界读书日”，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界上许多国家会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2022年第27个“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周课外阅读的时间t（单位：小时），把调查结果分为四档：A档：t＜6：B档：6≤t＜7；C档：7≤t＜8；D档：t≥8．根据调查结果绘成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）图1中A档所在扇形的圆心角的度数是°；（3）请补全图2条形统计图；（4）已知全校共有800名学生，请你估计每周课外阅读时间为6≤t＜8的学生人数是多少？25．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，某学校拟购买A、B两种型号的消毒液．已知3瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需51元，2瓶A型消毒液和5瓶B型消毒液共需78元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的消毒液共100瓶，总费用不超过1000元，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．26．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A（﹣1，0），点C（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△ABC沿直线BC折叠，得到△DBC，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由；（3）若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设＝n，求n的最大值并求出此时点E的坐标．27．（10分）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．28．（10分）【创设情境】在一节数学实验课上，同学们将如图1中的“T型尺”（其中PO⊥MN于点O）放置在矩形ABCD上，矩形的边AB＝6，BC＝7，E为边CD上一点，CE＝4，摆放“T型尺”时，始终保持点O在线段AD上，直线MN始终经过点E．设直线MN与直线AB相交于点F，射线OP与直线BC相交于点G．已知OD＝a（a为大于0的常数），我们可以用含有a的代数式表示线段OE的长：OE＝．【初步探究】请同学们探究：当点G与点B重合时，如图2，求线段OG的长．【探究发现】随着探究的深入，同学们发现：的值是一个定值．（1）请用含有a的代数式表示线段OG的长：OG＝；（2）请求出的值．【拓展延伸】请用含有a的代数式表示△EFG的面积S，并求出S的最小整数值．

2022年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）北京2022年冬奥会会徽（冬梦），是第24届冬季奥林匹克运动会使用的标志，主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志组成，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a＝a2 B．a8÷a2＝a4 C．（a2b）2＝a4b2 D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2•a＝a3，故A不符合题意；B、a8÷a2＝a6，故B不符合题意；C、（a2b）2＝a4b2，故C符合题意；D、（a2）3＝6，故D不符合题意；故选：C．3．（3分）一组数据：2，3，4，3，则中位数是（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【解答】解：把这组数据从小到大排列为：2，3，3，4，所以中位数为＝3．故选：B．4．（3分）如图是由6个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，则这个几何体的俯视图的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，所以这个几何体的俯视图的面积为5．故选：B．5．（3分）一个不透明的袋子里装有100个除颜色外都相同的小球，其中红色小球有3个，绿色小球有16个，蓝色小球有21个，其余全部为白色小球，搅匀后从中任意摸出一个小球，则摸到（）色小球的概率最小．A．红 B．绿 C．蓝 D．白【解答】解：摸到红球的概率为；摸到绿色小球的概率为＝；摸到蓝色小球的概率为，所以摸到红色小球的概率最小，故选：B．6．（3分）一副三角板按如图方式摆放，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠F＝30°．点A在边EF上，点D在边BC上，且EF∥BC，AB、DE相交于点O，则∠BOE的度数为（）A．75° B．90° C．105° D．120°【解答】解：∵EF∥BC，∠E＝60°，∴∠BDE＝∠E＝45°，∵∠BOE是△BOD的外角，∠B＝45°，∴∠BOE＝∠B+∠BDO＝105°．故选：C．7．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝0，解得m1＝m2＝1．故选B．8．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（）A．6x+14＝8x B．6（x+14）＝8x C．8x+14＝6x D．8（x﹣14）＝6x【解答】解：设有牧童x人，若设牧童有x人，根据题意可列方程为：6x+14＝8x．故选：A．9．（3分）阅读材料：一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．根据以上材料，解决下列问题：如图，在⊙O中，AB是直径，AB＝，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，是半圆弧的，则CD的长为（）A． B． C． D．1【解答】解：连接BC，∵∠DCA＝∠DBA，∠CAB＝∠CDB，∴△CDE∽△BEA，∴＝，∵点C在半圆的中点，是半圆的三分之一，∴∠ABC＝45°，∠ABD＝30°，∴∠EBC＝15°，∵AB是直径，∴∠ECB＝90°，∴sin∠EBC＝sin15°＝＝，∴CD＝AB•sin15°，∵sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝，AB＝+，∴CD＝1，故选：D．10．（3分）如图，将直线y＝﹣x向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于点C，以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE，点E恰好落在双曲线上，连接CE，CD，若CD∥x轴，四边形BCED的面积为8，则k的值为（）A．﹣12 B． C． D．﹣4【解答】解：延长CD交y轴于点G，过点E作EF⊥CD于点F．由题意得，直线BC的解析式为y＝﹣x﹣1，∴A（﹣2，0），B（0，﹣1），则OA＝2，OB＝1，∵四边形ABDE为平行四边形，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴∠OAB＝∠ACF＝∠EDF，又∵∠EFD＝∠AOB＝90°，∴△DEF≌△ABO（AAS），∴EF＝OB＝1，DF＝OA＝2，设E（m，），则F（m，﹣1），D（m+2，﹣1），∴C（，﹣1），∵点C在直线y＝﹣x﹣1上，∴将点C（，﹣1）代入，整理得k＝m﹣，∵四边形BCED的面积为8，即S△CDE+S△CDB＝8，∴EF+BG＝8，∴（m+2﹣）（1+）＝16，联立，解得．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相应位置上．）11．（3分）苏州站是苏州重要的交通枢纽之一，站房建筑面积为54000平方米，采用线上高架候车结构，包括南北两个站房和高架站房，并在北站房设置站前高架和落客平台，是苏州市地标建筑之一．将数据54000用科学记数法表示为5.4×104．【解答】解：54000＝5.4×104．故答案为：5.4×104．12．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥6．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣6≥0，解得：x≥6．故答案为：x≥6．13．（3分）若单项式2xym+1与单项式是同类项，则m﹣n＝﹣1．【解答】解：∵单项式2xym+1与单项式xn﹣2y3是同类项，∴m+1＝3，n﹣2＝1，∴m＝2，n＝3．∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为17．【解答】解：，a﹣2＝5x+x﹣3，解得：x＝，∵分式方程有增根，∴x＝3，把x＝3代入x＝中可得：3＝，解得：a＝17，故答案为：17．15．（3分）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为8m．【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即，∴AB＝8（m），即铁塔的高度为8m．故答案为：8．16．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当△ABP为直角三角形时，m的值为2．【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝|x2﹣x1|，令y＝0得x2﹣2mx+2m﹣1＝0，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝2m﹣1，则|x2﹣x1|2＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2，由抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2得顶点坐标为P（m，﹣（m﹣1）2），抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，∴|x2﹣x1|＝2（m﹣1）2即4（m﹣1）2＝4（m﹣1）4．解得：m＝2或m＝0或m＝l．∵抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣1与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，∴2m＞0且m≠1且2m﹣1＞0，即m＞且m≠1，∴m＝2．故答案为：2．17．（3分）如图，在△OAB中，OB＝2，以O为圆心、1为半径的⊙O与AB相切于点C，与OA、OB分别交于点E、F，点P是上一点，连接PE、PF，若∠ACE＝16°，则∠P的度数为46°．．【解答】解：连接CE，CF，∵⊙O与AB相切于点C，∴∠OCA＝∠OCB＝90°，∵∠ACE＝16°，∴∠OCE＝90°﹣16°＝74°，∵OE＝OC＝OF＝1，∴∠OCE＝∠OEC＝74°，∴∠COE＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵OB＝2，∴BF＝OF＝1，∴CF＝OB＝1，∴OF＝OC＝CF，∴△OCF是等边三角形，∴∠COF＝60°，∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝92°，∴∠P＝∠EOF＝46°，故答案为：46°．18．（3分）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则AB+OB的最小值是4．【解答】解：如图，在y轴的正半轴上截取OC，使得OC＝OA＝4，连接AC，BC．∵△AOC，∠APB都是等腰直角三角形，∴∠OAC＝∠PAB，AC＝OA，AB＝AP，∴∠OAP＝∠CAB，＝，∴△OAP∽△CAB，∴∠AOP＝∠ACB＝90°，∴点B在直线y＝x+4上运动，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点T，当点B与T重合时，OB+AB的值最小，∵E（﹣4，40，a（4，0），∴AE＝＝4，∴OB+AB的最小值为4，故答案为：4．三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）19．（5分）计算：．【解答】解：＝3+4﹣+1＝8﹣．20．（5分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母得：2x﹣8≥5x﹣5，移项合并得：﹣3x≥3，解得：x≤﹣1．将解集表示在数轴上如下：．21．（6分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°+2．【解答】解：＝÷＝•＝，当x＝tan60°+2＝+2时，原式＝＝＝．22．（6分）如图，点D在射线AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求证：AB＝AC．【解答】证明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴AB＝AC．23．（8分）圆周率π是无限不循环小数，中国古代数学家对圆周率的研究做出了重大贡献．历史上，我国数学家张衡、刘徽、祖冲之都对π有过深入研究．有研究发现：随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为；（2）某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上3幅数学家的画像中随机选取2幅，求其中有1幅是祖冲之的概率（用画树状图或列表的方法）．【解答】解：（1）∵随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字8的只有1种结果，∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为，故答案为：；（2）将祖冲之、刘徽、韦达三位数学家分别记作甲、乙、丙，列表如下：∵共有6种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有4种结果，∴其中有一幅是祖冲之的概率为．24．（8分）4月23日是“世界读书日”，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界上许多国家会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2022年第27个“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周课外阅读的时间t（单位：小时），把调查结果分为四档：A档：t＜6：B档：6≤t＜7；C档：7≤t＜8；D档：t≥8．根据调查结果绘成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是40；（2）图1中A档所在扇形的圆心角的度数是72°；（3）请补全图2条形统计图；（4）已知全校共有800名学生，请你估计每周课外阅读时间为6≤t＜8的学生人数是多少？【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是14÷35%＝40，故答案为：40；（2）图1中A档所在扇形的圆心角的度数是360°×20%＝72°，故答案为：72；（3）A档人数为40×20%＝8（人），C档人数为40﹣（8+14+2）＝16（人），补全图形如下：（4）估计每周课外阅读时间为6≤t＜8的学生人数是800×＝600（人）．25．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，某学校拟购买A、B两种型号的消毒液．已知3瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需51元，2瓶A型消毒液和5瓶B型消毒液共需78元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的消毒液共100瓶，总费用不超过1000元，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【解答】解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，，解得，答：A型消毒液的单价是9元，B型消毒液的单价是12元；（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（100﹣a）瓶，费用为w元，依题意可得：w＝9a+12（100﹣a）＝﹣3a+1200，∵k＝﹣3＜0，∴w随a的增大而减小，∵总费用不超过1000元，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，∴，解得，∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣3×67+1200＝999，90﹣a＝23，答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为999元．26．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A（﹣1，0），点C（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△ABC沿直线BC折叠，得到△DBC，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由；（3）若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设＝n，求n的最大值并求出此时点E的坐标．【解答】解：（1）由A、B关于x＝对称，且点A（﹣1，0），得B（4，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将A、B、C点坐标代入，得，解得．抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：∵点A（﹣1，0），点C（0，2），点B（4，0）．∵OA＝1，OC＝2，OB＝4，∴．又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．∴∠ACO＝∠CBO．∴∠ACO+∠BCO＝∠OBC+∠BCO＝90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图．∴∠DEC＝∠AOC＝90°，又∵∠ACO＝∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1，∵抛物线的对称轴为直线x＝．故点D不在抛物线的对称轴上；（3）设过点B、C的直线表达式为y＝px+q，∵C（0，2），B（4，0），∴，解得：．∴过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+2．过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（﹣1，），过点E作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图．∴EN∥AM，设点E坐标为（m，﹣m2+m+2），则点N坐标为（m，﹣m+2），∴EN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵EN∥AM，∴△AFM∽△EFN．∴＝n．∴n＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+．∵﹣＜0，∴当m＝2时，n的最大值为，此时点E坐标为（2，3）．27．（10分）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝120°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是半对角四边形，∴∠B＝∠D，∠C＝∠A．∴∠D＝2∠B，∠A＝2∠C．∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，故答案为：120；（2）证明：连接OC，如图，在△BDE和△BOE中，，∴△BDE≌△BOE（SSS）．∴∠BDF＝∠BOE．∵∠ACB＝∠BOE，∴∠ACB＝∠BDF．设∠EAF＝α，则∠AED＝3α．∵∠AED＝∠EAF+∠AFE，∴∠AFE＝∠AED﹣∠EAF＝2α，∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣2α．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAF＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠EAF﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠DFC．∵∠ABC＝∠AOC，∴∠ABC＝∠DFC，∴四边形BCFD是半对角四边形；（3）解：①连接OC，如图，四边形BCFD是半对角四边形，且∠ABC＝∠DFC，∠ACB＝∠BDF，由（1）的方法可求得：∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．设⊙O的半径为r，