2023届山东省菏泽市高三上学期期中考试数学试题（B）（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2023届山东省菏泽市高三上学期期中考试数学试题（B）一、单选题1．已知命题，，则（

）.A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】命题，是全称量词命题，故其否定为，，故选：B2．设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（

）.A．2 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先解方程得集合A，再根据，最后根据包含关系求实数，即得结果.【详解】,因为，当时，，当时，即时，令，解得，则或，则对应实数的值为，则实数a组成的集合的元素有3个，所以实数a组成的集合的真子集个数有，故选：C.3．函数的部分图象大致为（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值特征，利用排除法判断即可.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；又，当时，即，当时，即，又时，所以，故排除D，当时，所以，当时，所以，故排除A.故选：C4．在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.【详解】对于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.5．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，记，则（

）.A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先将代入化简，最后利用诱导公式、倍角公式求解即可【详解】因为，所以，，所以，故选：D6．已知函数满足，若函数与图象的交点为，，则（

）.A．0 B．n C． D．【答案】C【分析】根据两个函数的对称性得，利用倒序相加法求和即可.【详解】函数的图象如图所示：其图象关于直线对称，又函数满足，所以函数图象关于直线对称，所以它们交点的横坐标关于直线对称，不妨设与关于直线对称，则与关于直线对称，，则有，，，所以，又，所以.故选：C.7．下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则的最小值为2【答案】A【分析】对于A选项，根据和为负数取绝对值判断即可；对于B选项，通过举反例即可判断；对于C选项，通过举反例即可判断；对于D选项，将转化为，然后用柯西不等式即可.【详解】因为，所以，所以，所以，故A符合题意；假设，，则，故B不符合题意；假设，则，故C不符合题意；因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，即，即，时取等号，故D不符合题意.8．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定与，与大小关系，即可得出答案.【详解】解：，，，设，则，令，则恒成立，所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以；设，则，故在上单调递增，则，整理得，所以；故.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是处理好指对幂式子中自变量的位置，结合作差法比较大小，构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较，大小，将转换得，可构造差函数，求解导数结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.二、多选题9．若，则下列关系正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】AD【分析】将不等式转化为，再构造函数分析单调性，再逐个选项判断即可.【详解】对A，由题意，设，易得为增函数，又，故，故A正确；对BC，设，，则，故BC错误；对D，因为，故，故D正确.故选：AD10．下列四个条件中，q是p的必要条件的是（

）.A．， B．，C．为双曲线， D．，【答案】BC【分析】特例法判断AD，根据指数函数的单调性及必要条件的定义判断B，根据双曲线方程特点及必要条件的定义判断C.【详解】对于A，当时，满足，但，即不成立，所以p推不出q，所以q不是p的必要条件，不满足题意；对于B，因为函数单调递增，所以时，，所以p推出q，所以q是p的必要条件，满足题意；对于C，因为为双曲线，所以且，所以，所以p推出q，所以q是p的必要条件，满足题意；对于A，当时，成立，但不成立，即p推不出q，所以q不是p的必要条件，不满足题意.故选：BC.11．设函数，则（

）.A．存在两个极值点 B．当时，存在两个零点C．当时，不存在零点 D．若有两个零点，则【答案】BD【分析】对选项A，根据，得到在上只有一个根，即可判断A错误，对选项B，画出和的图象，即可判断B正确，对选项C，根据时，，即可判断C错误，对选项D，设两个零点，且，根据，，得到，即可判断D正确.【详解】对选项A，，令，，又因为，所以有一正一负根，设，则在上只有一个根，不可能存在两个极值点，故A错误.对选项B，令，即.当时，画出和的图象，如图所示：由图知：和有两个不同的交点，即存在两个零点，故B正确.对选项C，当时，，，存在零点，故C错误.对选项D，设两个零点，且，则，即，，所以，即，因为，所以，又因为，所以，即，故D正确.故选：BD12．已知函数，则下列说法正确的是（

）.A．是周期函数B．是函数的一个单调递增区间C．若，则D．不等式的解集为，【答案】ABD【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.【详解】对于A，因为，所以是的一个周期，正确；对于B，因为，且函数的定义域为R，所以是奇函数，当时，单调递增，又因为是奇函数且过原点，所以是函数的一个单调递增区间，正确；对于C，由AB可画出函数在上的图象，又因为，所以的图像关于对称，可画出函数在上的图象，即得到函数在上的图象，即一个周期的图象，如图：在上的对称中心为和，所以在整个定义域上对称中心为，即若，则，错误；对于D，先求不等式在一个周期内的解集，取区间，因为，所以，则，则在整个定义域上有，解得，正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.三、填空题13．若命题“存在，使得”是假命题，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据命题的否定与原命题真假相反得在上恒成立，求出函数最值即可求解.【详解】因为命题“存在，使得”是假命题，所以命题“任意，使得”是真命题，即在上恒成立，则，即实数a的取值范围是.故答案为：.14．已知α，β都是锐角，，，则.【答案】【分析】先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；【详解】因为与都是锐角，所以，，又，所以，，所以，，所以；,因为都是锐角，所以.故答案为:.15．已知集合.给定一个函数，定义集合.若对任意的成立，则称该函数具有性质“p”.写出一个具有性质“p”的函数.【答案】或等（写出一个即可）【分析】结合新定义和函数的值域知识，考虑常用函数验证可知.【详解】（1）函数，由，，可得，，，，，满足对任意的成立，故函数是一个具有性质“p”的函数.（2）函数，由，，可得，，，，任意，，，满足对任意的成立，故函数是一个具有性质“p”的函数.故答案为：或等（写出一个即可）16．已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，.若，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】令，根据，可得，即为偶函数，再根据当时，，利用导数判断函数在上得单调性，再根据，即，即，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，令，则，所以为偶函数，当时，，所以，所以函数在上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，因为，所以，所以，即，解得：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于根据已知构造函数，进而将问题转化为，利用的性质求解即可得答案.四、解答题17．解不等式：.【答案】答案见解析【分析】将分式不等式转化为整式不等式，讨论a的取值范围，结合解一元二次不等式，即可得答案.【详解】原不等式等价转化为，当时，，解得.当时，即，解得.当时，，解得或.当时，，解得或.综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.18．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足________.(1)求；(2)求边c的最小值.请从下列条件：①；②；③中选一个条件补充在上面的横线上并解答问题.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①，利用二倍角余弦公式及三角形的性质求解，再利用余弦值求角；选②，利用余弦定理及面积公式建立方程求得，利用正切值求角；选③，利用两角和正切公式化简得，利用正切值求角；（2）由余弦定理得，利用基本不等式求得，从而解二次不等式得c的最小值.【详解】（1）选①，由得，解得或（舍去），因为，所以.选②，由余弦定理得，则，所以，所以，因为，所以.选③，由得，所以.所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，又，则，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以.所以c的最小值为.19．已知函数，函数在区间上的最大值为4，.(1)求的解析式；(2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）判断在上的单调性，结合其最大值和求得，即得答案；（2）结合（1）求出的表达式，继而将在上有解，转化为在上有解，利用换元结合二次函数性质即可求得答案.【详解】（1），其图象对称轴为，，在单调递增，即，.又，则有即，所以，，所以的解析式为.（2）由（1）得，则在上有解，即在上有解，.令，则在上有解，所以，又，，故当时，取到最大值1，即，所以，所以实数k的取值范围是.20．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)令，若对于定义域内任意的x，恒成立，求实数a的值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导后，分、、、四种情况讨论即可；（2）对于，恒成立，讨论和，分离参数即可得出答案.【详解】（1）函数的定义域为，，①当时，，当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减②当时，，函数在上单调递增③当时，令，解得：或，令，解得：，函数在，上单调递增，在上单调递减④当时，令，解得：或，令，解得：，函数在，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，所以对于，恒成立.当时，，，.当时，，，.综上，.21．为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块，，，有关部门划定了以D为圆心，为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为边上的点E，出口为边上的点F，施工要求与古树保护区边界相切，右侧的四边形将作为绿地保护生态区.（，长度精确到，面积精确到）(1)若，求的长；(2)当入口E在上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】(1)(2)，最大面积为【分析】（1）根据得，然后利用锐角三角函数求出即可；（2）设，结合锐角三角函数定义可表示，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【详解】（1）设切点为H，连结DH，如图.，，，；；.（2）设，则，，.，当且仅当，即时，等号成立，，时，生态区即梯形的面积最大，最大面积为.22．已知函数，.(1)设函数在的切线方程为l，l与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为原点，求的面积；(2)当时，求证：；(3)求证：在上有且仅有两个零点.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线的斜率，再由点斜式方程得切线方程即可；（2）利用导数证明不等式，再利用余弦函数的有界性与不等式性质可证；（3）分段研究在各区间函数值符号的变化即可.借助放缩法或导数研究函数的单调性与极值，判断各区间函数值的符号变化，借助零点存在性定理可证明零点的个数.【详解】（1）因为，所以，又，则切点为，所以函数在处的切线方程为.令，，令，，所以.（2）即证当时,，令，则，所以在上单调递增，故，所以,即.又，所以.所以当时，.（3）①当时，，所以在上无零点.②当时，，且单调递增.因为，，由零点存在性定理知，存在使.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.其中，，，，所以在有且仅有一个零点，在有且仅有一个零点，③当时，，令，所以在上单调递增，又，，由零点存在性定理知，存在使.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.又，.所以.所以存在使，即.当时，，