中考数学面积最值问题（含答案）

中考数学面积最值问题压轴题解析1．1．定方向：面积最值问题的分析思路不规则图形面积分解为规则图形再表示2．定目标：确定待求条件3．定解法：解决待求条件题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形）题目中只有长度。（相似）4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。规则图形面积直接利用面积公式

模型一（动点）例1：正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；分析：（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题；（2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN（待求条件）（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。所以本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示CN的长。（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。解析：（1）三直角结构；（略）（2），（0<x<4）当时，取最大值，最大值为10．练习：如图：等腰梯形ABCD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB。求当AE等于多少时，四边形MEFN面积的最大值．答案．当x＝时，面积的最大值为．

模型二例2：如图，，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题；（2）定目标：△ADP的底PD，高AD都不知道（待求条件）（3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。所以本题是利用解直角三角形求PD和AD的长。（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。解析：设，∵，，∴，又∵，∴，，∴，而，∴（0<x<24）．∴PC等于12时，的面积最大，最大面积是．练习：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），设△BPQ的面积为S（cm2），当t等于多少时，S最大？答案：．（）；当t=3,

模型三（坐标系）例1：如图：已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．分析：（1）定方向：不规则图形四边形的面积问题，先分解为△BEF和梯形CEFO；（分解方法不唯一）（2）定目标：需要利用E点坐标表示BF,EF,OF的长以及求出OC的长（待求条件）（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。解析：(1)(2)解法1：过点E作EF⊥x轴于点F,设E∴EF=，BF=a＋3，OF=－a∴S四边形BOCE==BF·EF+(OC+EF)·OF=(a＋3)·(－－2a＋3)+(－－2a＋6)·（－a）=(－3<a<0)∴当a=－时，S四边形BOCE最大,最大值为．此时，点E坐标为(－，)解法2：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a,b)则S四边形BOCE=(3+b)·(－a)+(3+a)·b=(b－a)=()=－+(－3<a<0)∴当a=－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为(－，)点睛：（1）本质：求E点坐标本质就是求EF和OF的长。（2）设法：两种设点E的方法本质是相同的，都是用横坐标表示纵坐标。只是表示的时机不同而已。（3）易错：长度和坐标之间的转化要考虑象限；练习1：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；答案：S=．∴存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．模型四例2：如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.分析：（1）定方向：斜△PBC（不规则图形）面积问题，分解四边形PCOB减去△BOC；（2）定目标：利用P点坐标表示BE,PE,OE，及求OC的长（待求条件）（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。解析：(1)（2）答：存在。解法1：设P点=＝当，最大＝∴点P坐标为解法2：解法3：过P作PF∥X轴，过B作BG∥Y轴.点睛：（1）本质：三法都是将不规则图形转化为规则图形。法1和法2体现面积的“割”；而法3是面积的“补”。（2）技巧：法二的分割方法为铅垂高分割法；简洁方便，值得记忆。练习2．如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．答案：（1）．（2）

模型五例1：如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．（1）请你用含的代数式表示．（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？分析：（1）定方向：先画出分类图,得到三角形和梯形两种情况，都是规则图形面积问题；（2）定目标：三角形缺表示高A’D，梯形缺上底EF和梯形的高DG；（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，所以本题是利用相似比表示A’D，EF，DG的长。（4）定最值：分解求最值，在比较大小确定最终结果。解析：（1）（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）当落在四边形外时，如下图，法1：高=h=；DG=AG-AD=6-,，则;=所以综上所述：当时，，取，当时，，取，；当时，最大，法2：设的边上的高为，则。所以综上所述：当时，，取，；当时，，取，当时，最大，点睛：（1）法2有一定的高度，能从面积整体向面积整体转化，属于高级数学思维，值得学习。面积比与相似比之间的转化属于面积整体法系列。值得记忆。（2）养成先画图后分析的习惯。能将抽象问题具体化。练习：有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图1，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图2)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.(1)当x=0时(如图1)，S=_____________；当x=