2023新教材高中数学第4章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与通项公式对点练新人教A版选择性必修第二册

4．1数列的概念第1课时数列的概念与通项公式知识点一根据数列的前几项求通项公式1.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．an＝(－1)n·(2n－1)B．an＝(－1)n·(2n－1)C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)答案A解析数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．2．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：(1)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(2)1eq\f(1,2)，2eq\f(4,5)，3eq\f(9,10)，4eq\f(16,17)，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，…；(4)3,5,9,17，….解(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1,0.99＝1－10－2,0.999＝1－10－3,0.9999＝1－10－4，故an＝1－10－n.(2)1eq\f(1,2)＝1＋eq\f(12,12＋1)，2eq\f(4,5)＝2＋eq\f(22,22＋1)，3eq\f(9,10)＝3＋eq\f(32,32＋1)，4eq\f(16,17)＝4＋eq\f(42,42＋1)，故an＝n＋eq\f(n2,n2＋1).(3)eq\f(1,2)＝eq\f(21－1,21)＝1－eq\f(1,21)，eq\f(3,4)＝eq\f(22－1,22)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(7,8)＝eq\f(23－1,23)＝1－eq\f(1,23)，eq\f(15,16)＝eq\f(24－1,24)＝1－eq\f(1,24)，故an＝eq\f(2n－1,2n)＝1－eq\f(1,2n).(4)3＝1＋2,5＝1＋22,9＝1＋23,17＝1＋24，故an＝1＋2n.知识点二数列通项公式的应用3.数列eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，eq\f(8,9)，…的第10项是()A.eq\f(16,17) B．eq\f(18,19)C．eq\f(20,21) D．eq\f(22,23)答案C解析由题意知，数列的通项公式是an＝eq\f(2n,2n＋1)，∴a10＝eq\f(2×10,2×10＋1)＝eq\f(20,21).故选C.4．若数列an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，则a5－a4＝()A.eq\f(1,10) B．－eq\f(1,10)C．eq\f(1,90) D．eq\f(19,90)答案C解析依题意知，a5－a4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5＋1)＋\f(1,5＋2)＋…＋\f(1,2×5)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4＋1)＋\f(1,4＋2)＋…＋\f(1,2×4)))＝eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)－eq\f(1,5)＝eq\f(1,90).故选C.5．已知数列eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…，eq\r(32n－1)，…，则9是这个数列的()A．第12项 B．第13项C．第14项 D．第15项答案C解析依题意，该数列的通项公式为an＝eq\r(32n－1).令an＝9，得n＝14，故选C.6．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n－1n为奇数，,2n－2n为偶数，))则a2a3的值是()A．70 B．28C．20 D．16答案D解析a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.知识点三数列的单调性7.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(2n,n＋1)，那么这个数列是()A．递增数列 B．递减数列C．先增后减数列 D．常数列答案A解析an＝eq\f(2n,n＋1)＝2－eq\f(2,n＋1)，单调递增．故选A.8．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是()A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项答案A解析an＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(21,4)))2＋eq\f(441,8)，因为n∈N*,5＜eq\f(21,4)＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A.9．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(an,bn＋1)(a，b为正数)，那么an与an＋1的关系是()A．an>an＋1 B．an<an＋1C．an＝an＋1 D．以上都不对答案B解析y＝eq\f(ax,bx＋1)＝eq\f(\f(a,b)bx＋1－\f(a,b),bx＋1)＝eq\f(a,b)＋eq\f(－\f(a,b),bx＋1)＝eq\f(a,b)＋eq\f(－\f(a,b2),x＋\f(1,b)).其图象可由y＝eq\f(－\f(a,b2),x)先向左平移eq\f(1,b)个单位长度，再向上平移eq\f(a,b)个单位长度得到，如图．由图象不难得知函数y＝eq\f(ax,bx＋1)在[1，＋∞)上单调递增，所以an＝eq\f(an,bn＋1)的值随n的增大而增大．所以数列{an}是递增数列，即an<an＋1.故选B.10．已知下列数列：①2,22,222,2222；②0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；③1，eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，…，eq\f(1,3n－1)，…；④－2,0，－2,0，…，(－1)n－1，…；⑤a，a，a，a，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________(将正确的序号填在横线上)．答案①②③④⑤①②③⑤解析①是有穷数列，也是递增数列，②是无穷数列，也是递增数列，③是无穷数列，也是递减数列，④是无穷数列，⑤是无穷数列，也是常数列．11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x＞7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．答案(2,3)解析由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x＞7))的图象上．因此当3－a＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜a7；当a＞1时，a8＜a9＜a10＜…；为使数列{an}递增还需a7＜a8.故实数a满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a＞0，,a＞1，,f7＜f8，))解得2＜a＜3，故实数a的取值范围是(2,3).一、选择题1．数列7,9,11，…，2n－1的项数是()A．n－3 B．n－2C．n－1 D．n答案A解析数列通项公式为2n＋5，而2n－1＝2(n－3)＋5，所以项数为n－3.故选A.2．数列－eq\f(1,3×5)，eq\f(2,5×7)，－eq\f(3,7×9)，eq\f(4,9×11)，…的通项公式an为()A．(－1)n＋1eq\f(1,2n＋12n＋3)B．(－1)n＋1eq\f(n,2n＋12n＋3)C．(－1)neq\f(1,2n＋12n＋3)D．(－1)neq\f(n,2n＋12n＋3)答案D解析观察式子的分子为1,2,3,4，…，n，…，分母为3×5,5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)neq\f(n,2n＋12n＋3).3．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)答案C解析对于A，an＝eq\f(1,n)，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，它既是无穷数列又是递增数列．故选C.4．设an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.eq\f(1,2n＋1) B．eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D．eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)答案D解析∵an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)，∴an＋1＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴an＋1－an＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).5．(多选)已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，则下列通项公式可以作为数列{an}的通项公式的是()A．an＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n＋1]B．an＝sin2eq\f(nπ,2)C．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n为奇数，,0n为偶数))D．an＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)答案ABC解析要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，若要确定它是通项公式，必须加以一定的说明．容易验证A，B，C均符合；对于D，将n＝3代入不符合．故选ABC.二、填空题6．已知一组数1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，按这组数的规律，x应为________．答案13解析由题意得1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5,3＋5＝8.∴x＝5＋8＝13.7．数列eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…的一个通项公式是________．答案an＝eq\f(2n,2n－12n＋1)解析∵eq\f(2,3)＝eq\f(2×1,1×3)，eq\f(4,15)＝eq\f(2×2,3×5)，eq\f(6,35)＝eq\f(2×3,5×7)，eq\f(8,63)＝eq\f(2×4,7×9)，eq\f(10,99)＝eq\f(2×5,9×11)，…，∴an＝eq\f(2n,2n－12n＋1).8．数列{an}满足an＝eq\f(n－\r(2021),n－\r(2022))，若ap最大，aq最小，则p＝________，q＝________.答案4544解析an＝eq\f(n－\r(2021),n－\r(2022))＝1＋eq\f(\r(2022)－\r(2021),n－\r(2022)).由于44＜eq\r(2022)＜45，则当n≤44时，an＝1－eq\f(\r(2022)－\r(2021),\r(2022)－n)＜1且递减；当n≥45时，an＝1＋eq\f(\r(2022)－\r(2021),n－\r(2022))＞1且递减．所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44.三、解答题9．已知数列an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n为奇数，,n，n为偶数，))试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．解∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.10．数列{an}中，an＝eq\f(n2,n2＋1).(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(3)区间eq\b\lc\(