北师大版选择性221双曲线及其标准方程课件（32张）

§2双曲线2.1双曲线及其标准方程学习目标1.能通过绘制双曲线的过程认识双曲线的几何特征,探究双曲线的定义,并能用它解决简单的问题,发展数学抽象素养.2.类比椭圆标准方程的推导过程,能通过建立适当的平面直角坐标系,根据双曲线上的点满足的条件列出双曲线上的点的坐标满足的方程,化简列出的方程,得到双曲线的标准方程,并能用它解决简单的问题,从中体会建立曲线的方程的方法,发展直观想象、数学运算素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究问题1:椭圆是平面内到两个定点的距离的和是一个常数的点的集合,且该常数大于这两个定点之间的距离,如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎么样?提示:适当选取两定点F1,F2,将拉链拉开一段,其中一边的端点固定在F1处,在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度),作为动点P到两定点F1和F2距离之差,而后把它固定在F2处,这时将铅笔(粉笔)置于P处,于是随着拉链逐渐打开,铅笔(粉笔)就画出一条曲线,同理可画出另一支(如图).显然所画的曲线不是椭圆,而是两条相同的曲线,只是位置不同,其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|-|PF2|或|PF2|-|PF1|是同一个常数”这个条件.问题2:在上述过程中,我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|的长度,如果截取的长度等于|F1F2|的长度,其轨迹还是上述图形吗?提示:不是,是以F1,F2为端点的两条射线.1.双曲线的定义平面内到两个定点F1,F2的距离之

等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作

.这两个定点F1,F2叫作双曲线的

,两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的

.(1)如果没有绝对值,点的轨迹表示双曲线的

.(2)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的

(包括端点).(3)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹

.差的绝对值双曲线焦点焦距一支射线不存在(4)当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的

.垂直平分线问题3:类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的平面直角坐标系,求出双曲线的标准方程?双曲线的标准方程有几种形式?2.双曲线的标准方程F1(-c,0),F2(c,0)焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)焦点

.

.a,b,c的关系b2=

.F1(0,-c),F2(0,c)c2-a2师生互动·合作探究探究点一[例1](1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(

)A.直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线双曲线的定义解析:(1)因为l是线段AP的垂直平分线,所以|QA|=|QP|.因为|QP|-|QO|=r,所以||QA|-|QO||=r<|AO|,所以点Q的轨迹是以点A,O为焦点的双曲线.故选D.(2)(多选题)在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=r2,其中常数r满足1≤r≤2,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是(

)A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线解析:(2)由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r,所以|C1C2|=4.设动圆P的半径为R,已知圆C1与C2相离,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.①若均内切,则|PC1|=R-1,|PC2|=R-r,此时|PC1|-|PC2|=r-1,当r≠1时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,当r=1时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切,则|PC1|=R+1,|PC2|=R+r,此时|PC2|-|PC1|=r-1,当r≠1时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,当r=1时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=R-1,|PC2|=R+r,|PC2|-|PC1|=r+1.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r+1.此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,且与①中双曲线不一样.故选BC.方法总结动圆与直线或者圆相切,根据直线与圆、圆与圆的位置关系转化为动圆圆心到点、直线之间的距离的关系,分析这些关系,结合圆锥曲线的定义即可判断动圆圆心的轨迹.提醒:双曲线是两支,如果只是动点到两定点距离之差等于非零常数,则轨迹为双曲线的一支.[针对训练](1)(2021·云南师大附中月考)如图所示,某生态农家乐有三个功能区,△ABC为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓,矩形BCMN为果园种植区,以CM为直径的半圆区域为农家乐活动住宿区.现农户欲对果园进行施肥,运来一批肥料放置于点A处,要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB,AC送到矩形BCMN的果园种植区去,若|AB|=|CB|=2km,|AC|=1km,该农户在矩形BCMN果园中画定了一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近,而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近,设这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为(

)A.圆 B.椭圆 C.直线 D.双曲线解析:(1)由题意,从点A出发经C到界线上一点P,与从点A出发经B到P,所走的路程是一样的,即|AC|+|PC|=|AB|+|PB|,所以|PC|-|PB|=|AB|-|AC|,又由|AB|=|CB|=2km,|AC|=1km,所以|PC|-|PB|=1<|CB|,根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线.故选D.答案:(1)D(2)已知动圆M与两圆(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆M的圆心M的轨迹为

.

答案:(2)以F1,F2为焦点的双曲线探究点二双曲线的标准方程(2)(2021·辽宁锦州高二期末)在①C的焦距为6,②C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.方法总结双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时,若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.(2)定义法:通过题意转化为定义所需条件求得方程.[针对训练](1)(多选题)(2021·江苏江浦高二月考)已知a=2,c=4,则双曲线的标准方程为(

)角度2双曲线的定义