2021年上海中考数学母题讲次13 动态几何题

专题13动态几何题

母题呈现

【母题来源1】（2019•上海中考真题）如图，在正方形中，E是边4。的中点.将NBE沿直线8E翻折,

点4落在点F处,联结。尸，那么EZ）F的正切值是—.

【答案】由折叠可得QAEB=QFEB,由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得至11口4后8=口助尸,

进而得到tanEDF=tanAEB==2.

AE

【解析】解：如图所示，由折叠可得4E=FE,UAEB=FEB='nAEF,

2

□正方形/BCD中，E是的中点，

QAE=DE=—AD^—AB,

22

□DE=FE,

^EDF=HEFDf

又□EUE尸是QDEF的外角，

□UAEF=DEDF+GEFD,

QOEDF=—DAEF,

2

□QAEB=QEDF,

□tan□££＞尸=tanEMEB=岖=2.

AE

故答案为：2.

【母题来源2］（2017•上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与尸重合，边CA与边FE叠合,

顶点8、C、。在一条直线上）.将三角尺QEF绕着点尸按顺时针方向旋转“。后（0<"VI80）,如果EFU4B,

那么〃的值是—.

【答案】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可.

【解析】解：□如图1中，EFUABV^,DJCE=0^=45°,

口旋转角”=45时，EFQAB.

□如图2中，EFCABB-t,IZMCE+LL4=180。，

□□4CE=135。

口旋转角”=360-135=225,

□0<»<180,

□此种情形不合题意，

故答案为45

【母题来源3］（2016•上海中考真题）如图所示，梯形45co中，ABDC,□5=90°,40=15,N8=16,BC=

12,点E是边上的动点，点尸是射线8上一点，射线和射线ZF交于点G,且口46£：=口。48.

(1)求线段C。的长；

(2)如果1/EG是以EG为腰的等腰三角形，求线段/E的长；

(3)如果点尸在边8上(不与点C、。重合)，设ZE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的

取值范围.

【答案】(1)作。及匚48于4，如图1,易得四边形3cDH为矩形，则。H=8C=12,CD=BH,再利用勾股

定理计算出AH,从而得到BH和CD的长；

(2)分类讨论：当E/=EG0寸，则口46后=口6/£则判断G点与。点重合，即£Z)=EZ,作于〃，

如图1,则｛/=上/。=」互，通过证明RtEUMEtlRtlZU”。，利用相似比可计算出此时的长；当G4=GE

22

时，则□/GE=EMEG,可证明ZE=/O=15,

(3)作。“口43于"，如图2,则/"=9,HE=\x-9\,先利用勾股定理表示出。E=J京《不立，再

2

证明口以6口口瓦%,则利用相似比可表示出EG=/X,则可表示出DG,然后证明DDGFQQEGA,

V122+(X-9)2

于是利用相似比可表示出x和y的关系.

【解析】解：(1)作DHU4B于H,如图1,

易得四边形BCDH为矩形,

DH=BC=U,CD=BH,

在RtADH中，AH=yj-12^=,

QBH=AB-AH=\6-9=7,

□CD=7；

(2)匚功=EG时，贝iJZL4GE=E)GZE,

UQAGE=QDAB,

GAE^QDAB,

G点与。点重合，即EO=£4,

作EMUAD于如图1,则AM=—AD=—,

22

QJ:MAE=QHAD,

□RtELiME匚RtEJ/MD,

□4E：AD=AM：AH,即/E：15=—：9,解得4E=①；

22

□G4=GE时，则EIG/EMEUEG,

□QAGE=UDAB,

^UAGE=DADG+CDAG,CDAB=DGAE+CDAG,

QQGAE^QADG,

□QAEG=DADG,

QAE=AD=15.

综上所述，1ZEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段/E的长为空或15；

2

(3)作DH14B于H,如图2,则N"=9,〃E=|x-9|,

2222>

在REHDE中，^VDH+HEN12+(X-9)

n2AGE=[JDABfUAEG=UDEA,

U^EAG^EDA,

□EG：AE=AE：ED,即EG：x=x：^J22+(X-9)2,

2

□EG=X

V122+(X-9)2

_____________2

□DG=DE-EG"2+(X-9)2--^===

V12^+(x-9)z

\QDGF3UEGA,

22

xx

DF：AE=DG：EG,即y：x=(>/122+(X-9)2-):

V122+(X-9)2V122+(X-9)2

母题褐秘

1、抓住图形运动后角度和长度等性质的特点;

2、寻找几何模型突破点;

3、主要有以下几点思路:

数量关系突破：1、勾股定理（比较初级，实用）；2、锐角三角比；3、相似;

角度关系突破：平行，全等，相似，其他几何性质;

4、分类讨论多种情况（可以以某一种情况切入），记得验证是否均满足题意，有些需要舍去;

5、综合分析法，从己知和结果同时出发往中间靠（也就是寻找第3点的突破点）。

一、填空题

1.（2021•上海九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E在CD上，将EIBCE沿BE

折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将匚ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

有下列结论："EBG=45。；□□DEF30ABG；OSABG=1.5SFGH：EIAG+DF=FG；其中正确的是

.（填写正确结论的序号）

【答案】□□□

【解析】

根据矩形的性质和折叠的性质，可知NEBF+NGBH=45。，。尸的长度.利用勾股定理可求出AG,GF、GH、

HF的长度，结合题意逐个判断即可.匚：根据题意可知NE8C=NE",NGBA=NGBH,

NEBC+ZEBF+ZGBA+ZGBH=90°,

□NEBF+ZGBH=45°,即NEBG=45°.

故口正确；

□：ZEFD+ZAFB^90°,ZA8E+ZAF8=90。，

□NEFD=ZABF,

QQABF口口DFE,

ABAF

--------------,

DFDE

□AF=dBF2_AB2=J102_62=8,

_D__EAF_8__4

DF~AB~6~3'

设4G=x,贝ijG〃=x,GF=S-x,HF=BF-BH=\0-6=4.

又□在RtQGHF中，GH2+HF2=GF2,

222

OX+4=(8-X)

解得x=3,即4G=3,

——AB=-6=2c・

AG3

：:-A-Bw-D--E

AGDF

故口DEF和口48G不相似.

故口错误；

□：由口得GH=3,

SAR(.=-ABQ4G=-x6x3=9,S=，x3x4=6.

AliG22022

SABG'SGFH=9:6=1.5.

故口正确.

□：。尸=10-8=2,由□可知4G+QF=3+2=5,GF=8-3=5.

UAG+DF=GF.

故口正确.

故答案为□□□.

【点睛】

本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题.本题利用勾股定理计算出

4G的长度是解题的关键.

2.（2021•上海徐汇区•九年级一模）如图，在口A8C中，点。、E分别在边A3、AC上，OE〃BC,将口4。七

An2

沿直线0E翻折后与VFOE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N,如果OE=8,——=—,

AB3

那么MN的长是.

F

【答案】4

【解析】

设AB=3a,从而可得AD=2a,B£>=a,先根据平行线的性质可得NAOE=N8,NEZW=,再根

据翻折的性质可得NADE=N£OM,DF=A£）=2a,从而可得N8=N8M。，然后根据等腰三角形的判定

可得。M=6O=a,从而可得KW=a,最后根据三角形的中位线定理即可得.设A6=3a,则

AD=2a,BD=AB—AD=a,

DE//BC,

ZADE=ZB,ZEDM=ZBMD,

由翻折的性质得：ZADE=NEDM,DF=AD=2a,

NB=NBMD,

DM=BD=a,

:.FM=DF—DM=a=DM,即点M是DF的中点，

又DE//BC,

；.MN是V尸。E的中位线，

:.MN^-DE^-xS=4,

22

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键.

3.（2021•上海长宁区•九年级一模）如图，矩形力8。沿对角线8。翻折后，点C落在点E处.联结CE交边4。

于点E如果。尸=1,BC=4,那么/E的长等于.

【答案】述

5

【解析】

由折叠的性质可得RMCD=Rt\BED,由矩形的性质可证明Rt\DAB=Rt\BCD,故可得

RtM）AB=Rt\BED,再证明R/ABC。口RfACD/求得CD=2,在mAAE尸中由勾股定理可得解.解：口

四边形ABCD是矩形，DBED是由DBCD翻折得到，

□Rt\BCDsRt\BED,CE1BD,

□AO=8C=4,AB=CD=ED,

口四边形ABCD是矩形，

□AD=BC,AB=CD,

又BD=DB

□RtADAB=Rt\BCD

□RtkDAB=Rt\BED

AB=ED,ZABD=ZEDB

口四边形ABDE是等腰梯形，

QCE1BD,AE//BD

nCELAE,□EAD=NADB=NDBC

□□DBC+ZFCB=90°,ZFBC+ZFCD=90°

DBC=ZFCD

□Rt\BCD□Rt\CDF

FDCD1CD

□---=----,即----=----

CDBCCD4

□CD=2或-2（舍去）

CD21

在Rt\DCB中，tan/DBC=----=—=—

BC42

QQEAD=ZDBC

tanNEAD=—

2

在RrAAEF中，EF^-AE

2

由勾股定理得，AE2=AF2-EF2

即AE2=(AD-FDy-(1AE)2

QAE2=(4-\y--AE2

4

解得：AE=|A/5.

故答案为：85.

5

【点睛】

本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

4.(2021・上海九年级一模)如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角

形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点如图1,在四边形A8CO中，点。在边AO上，

如果口QA3、口Q8c和口。£＞。都相似，那么点。就是四边形A8CO的“强相似点”；如图2,在四边形

A8CO中，AD/7BC,AB=DC=2,BC=8,ZB=60°,如果点。是边上的“强相似点”，那么

AQ=

A

【答案】3+新或3-行

【解析】

过点A作AEDCD,交BC于点E,可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD的长，利用

AQDC

“强相似点''的定义可得□ABCWDQC,则由相似三角形的性质可得1r而，再根据线段之间的数量关系建

立关于AQ的方程，求解后即可求出AQ的长.解：如图，过点A作AEDCD,交BC于点E,

口在四边形ABC。中，AD^BC,AB=DC=2,

□四边形ADCE是平行四边形，

□AE=CD=AB=2,AD=CE.

NB=60°,

□□ABE是等边三角形.

□BE=AE=AB=2.

□AD=BC-BE=6.

□点。是边AD上的''强相似点”，

□□ABQDQC.

AQDC

~AB~~DQ'

设AQ=x,则DQ=6—x,

解得%=3+6，Xj=3-\[5.

故答案为：3+6或3—

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的

性质并能灵活应用所学知识是解题的关键.

5.（2021・上海九年级专题练习）如图，在口ABCO中，点E在边BC上，将AABE沿直线AE翻折得到西，

点8的对应点F恰好落在线段。E上，线段的延长线交边于点G,如果BE:EC=3:2,那么

的值等于

AD

BEC

21

【答案】r

4

【解析】

由轴对称的性质可得：NBEA=NFEA，BE=FE,NABE=NAFE,结合平行四边形的性质，结合

BE:EC=3:2,设BE=3乂则EC=2k，证明3C=AQ=。石=5攵，再证明△AOGs^XOEG,可得：

4^=2，=4^=*—=*,求解：FG=—DG,AG=—DG,从而可得答案.解：:□ABEAFE

DFFGDG2k252

•・.NBEA=NFEA,BE=FE,NABE=NAFE,

・・・OABCD

ADIIBC,AD=BC,/B=NADC,

NBEA=NDAE=乙FEA

AD=DE

・.・BE:EC=3:2

・•・设5E=3幺则EC=2A,

.・.BC=AD=DE=5k,

/.DF=2k,

・・・ZDFG=ZAFE,

ZDFG=ZADG,

・・・/DGF=NAGD,

・・・/XADG^/XDFG,

.ADDGAG5k_5

'~DF~~FG~~DG~^2k~21

25

...FG=-DG,AG=-DG

529

AG_25

••一>

FG4

AG-FG25-4

------------=---------,

FG4

AF21

•••一一__，

FG4

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识

是解题的关键.

6.（2021・上海九年级专题练习）在口ABC中，AB=4母，NB=45°,ZC=60°.点。为线段AB的中

点，点E在边AC上，连结。E,沿直线OE将DAOE折叠得到口A'OE.连接A4',当A'ELAC时，则

线段4T的长为.

【答案】2屈

【解析】

AEAD

求出AC的长，证明IADEACB,推出——=——，由此求出AE即可解决问题.解：过点A作AMBC,在

ABAC

RtDABM中，AM=ABxsin45°=472x—=4

2

AC=AM+sin60o=冕I

3

^A'EIAC,

□AEA=90°,

□□ADEEIIA'DE

□□AED=DA，ED=45°,

□□AED=DB,

□□DAE="AB,

□□ADEODACB,

AEAD

AE_2V2

4V2-

亍

AE=2y[3

AA=V2AE=2x/6

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

7.（2021•上海杨浦区•九年级一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边

3

形A8CO中，A8=10,BC=12,CD=5,tanB=—,那么边的长为.

【答案】9

【解析】

3

连接AC,作AEJ.交BC于E点，由tanB=一，AB=10,可得AE=6,BE=8,并求出AC的长，作CF1AD

4

交AD于F点，可证NB=NDCF,最后求得AF和DF的长，可解出最终结果.解：如图，连接AC,作AE±BC

交BC于E点，

3

,/tanB,AB=10,

4

AE3

tanB=---=—,设AE=3x,BE=4x,

BE4

222

AE+BE=AB，则(3x)2+(甸2=25%2=⑼,

解得x=2,则AE=6,BE=8,

又：8C=12,CE=BC-BE=4,

AC=y]AE2+CE2=2713-

作CF_LA。交AD于F点，

vZB+ZZ)=90°,ZD+ZDCF=90°,

3DF

NB=NDCF，tan8=—=tanZ.DCF=，

4CF

又CZ>=5,同理可得DF=3,CF=4,

AF--AC2—CF2=61

AD=AF+DF=9.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，

根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键.

8.（2021・上海宝山区•九年级一模）在RtaABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,点E、口分别是边CA、CB

的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90。得到线段。P,如果点P、D、

C在同一直线上，那么tanNCAP=.

【答案】播+1或夜-L

【解析】

分两种情形：□当点。在线段PC上时，延长力。交的延长线于证明40=。。即可解决问题.解：口如

图2中，当点。在线段PC上时，延长4。交6c的延长线于巴

H

图2

口CE=EA,CF=FB,

UEFUAB,

UAC=AB,UACB=^Q

□□CEF=ZG4^=45°,

UPD=PA,DAPD=90Q

mPAD=QPDA=45°9

□□HDC=E1PD4=45。，

□点E是边CA的中点，

QEA=EP=EC

□□EPC=0CEP,

UQHDC=UDCA+UDAC=45%

□CEF=匚。C4+D£PC=45。，

□QDAC=QEPC=DECP,

UDA=DCf设ZP="，^\DA=DC=yf2a,

□PC=（及+1）〃

ntanZCAP=—

PA

□如图3中，当点P在线段CD上时,

E

由□可知，E尸口力8,□CJ5=nPDJ=45°,

□□。。=180。・口48-45。，

□。。4=180。皿。0-45。

□□CW=E1CO4

DEFUAB,

nnCPE=QCOA,

□□CPE=DC4D,

□点E是边C4的中点，

UEA=EP=EC

\2QECP=DCPEt

□□£CP=DC4D,

UDA=DC,设4P=a,则尸Z)=a,DA=DC=41a,

□PC=(V2-1)6Z

□tanNCA?=^=(应”=&-1

PAa

综上所述，tanNCAP的值是行+1或0一1.

【点睛】

本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函

数等知识，熟悉相关性质是解题的关键.

9.（2021・上海奉贤区•九年级一模）如图，在中，NACB=90。,4。=3,5。=4,。。是乙48。的角

平分线，将RfAABC绕点A旋转，如果点。落在射线C7）上，点B落在点E处，连接ED,那么NAE。的正

切值为_______________________.

3

【答案】-

【解析】

AGAC3

如图，过点D作DGZIAC于G,可得DG〃BC,即可证明EJAGDEIIZIACB,可得——=——=一，由CD是角平

DGBC4

分线可得LACD=45。，可得CG=DG,进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质

可得AOAC,AE=AB,根据等腰三角形的性质可得口。2八=45。，可得□CAC=90。，可得旋转角为90。，可得

□DAE=90°,利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案.如图，过点D作DG1AC于G,

□□ACB=90°,

□DG//BC,

丁办AGAC3

□LAGDJDACB,可得——=——=一，

DGBC4

□CD是角平分线，

□□ACD=45°,

□CG=DG,

□AC=3,AC=AG+CG,

37

□—DG+CG=3,即一DG=3,

44

12

解得：DG=—,

7

9

□AG=-,

7

I---------------15

□AD=A/£)C2+i4G2=—,

口将RrAABC绕点A旋转，如果点。落在射线CD上,

□AC'=AC,AE=AB,

□□CCA=JACD=45。，

□□CAC=90°,

口旋转角为90。，

□□DAE=90°,

□AC=3,BCM,

□AB=5,

AD3

tanZAED=—

AE~AB7

3

故答案为：—

【点睛】

本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90。并熟练掌握相关性质

及定义是解题关键.

10.（2020•上海浦东新区•九年级三模）如图，在矩形N8C。中，AB=3,BC=4,将矩形Z8CD绕点C旋转，点

A.B、。的对应点分别为月‘、B\D',当4'落在边CQ的延长线上时，边A'D'与边力。的延长线交于点产，

联结CF,那么线段CF的长度为.

A'

【答案】bH

2

【解析】由勾股定理可求AC=5,可得A，D=A，C-CD=2,由□ECDEJE]A9B，，对应边成比例即可求出DE的长,

再由【ADFEIIZICDE求出DF的长，最后在REDFC中由勾股定理即可求出DF.

解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3,B'C=BC=4

0由勾股定理可知：A'C=132+42=5，

0A'D=A'C-CD=2,

XDADC=DB'=90°,fiOECD=nA'CB',

OOECDODA'CB',

CDDE八、…3DE

-7—=-7-7.代入数据：­=--

BCAB43

9

□PE=",

4

又A'FDCE,

□□CED=nA'FD,且DEDCRFDA',

□□A'DFnnCDE,

9

M=H，代入数据：43,

FDAD而二5

3

□DF=一，

2

在RtDFC中由勾股定理可知:

CF=^DF2+CD2=J（1）2+32=浮.

故答案为：述.

2

【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的

关键.

11.（2020•上海涌东新区•九年级月考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如

果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形48CD中，对角线

8。是它的相似对角线，ABC=70。,BD平分ABC,那么二度

【答案】145

【解析】

先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在二ABD和DDBC中，已知匚ABDMCBD,所以需另一组对应角相

等，若DARC,则C1ABD与匚DBC全等不符合题意，所以必定有UAnElBDC,再根据四边形的内角和为360。列式

求解.解：根据题意画出示意图，已知二ABD=1CBD,

□ABD与E1DBC相似，但不全等，

□□A=nBDC,nADB=nc.

XDA+DABC+DC+DADC=360°,

□2JADB+2OBDC+DABC=360°,

OOADB+DBDC=145°,

即E]ADC=145°.

【点睛】

对于新定义问题，读懂题意是关键.

12.（2021・上海九年级专题练习）在RfAABC中，NC=90。,AC=2,5C=4，点。、E分别是边BC、AB

的中点，将ABDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点。'、E',当直线O'E'经过点A时，线

段C。'的长为

【答案】26或!石

【解析】

当直线O'E'经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3,采用两边对应成比

例且夹角相等证得口CBDPIABE',利用相似三角形对应边成比例求解.解：在RtDACB中，

ZC=90°,AC=2,BC=4,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=V22+42=275，

□。、E分别是边8C、A8的中点，

□DE是1ACB的中位线，BD=2,BE=£,

ODEQAC,DE=-AC=1

2

□□EDB=90°,

由旋转可得，BD'=2,D'E'=1,BE=5DBD-E^O0,

第一种情况，如图1,

□点A,D',E'三点共线,

□□ADB=90°,

由勾股定理得AD7AB2_RD”J(2可-22=4,

□AE'=AD'+D'E'=5

□□ABC=DD，BE；

]nCBD,=QABE，,

BCBD’2

ABBE'6

■.□CBD,nnABE；

CD'2

------=—=

□CD=2A/5

第一种情况，如图2,

D

如图2〃/

□点A,D\E'三点共线，

旧AD'B=90°,

由勾股定理得AD=JAB2-BD'2=

□AE'=AD'-D'E'=3

□ABC=DDBE;

]nCBD=：ABE；

BCBD'2

ABBE'石

□□CBD^QQABE；

C。’2

C。’2

□---=~-f=

375

□CDV5

□CD，长为2石或

故答案为：2亚或1后.

【点睛】

本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，能正确画出图形

很关键.

13.（2017•上海徐汇区•九年级二模）如图，在EL4BC中,DJCS=a（90°<a<180°）,将EIXBC绕着点4逆时针

旋转邛（0。<0<90。）后得U4ED,其中点E、。分别和点8、C对应，联结CZ）,如果COEIE。，请写出一个关

于a与0的等量关系的式子.

【答案】a+p=180°

【解析】

本题考查的是旋转与等腰三角形，做辅助线AFDCD,由旋转可得一ADE=1ACB=a,再用含有字母。，尸的式

子表示出匚ADC与DDAF,利用三角形内角和即可倒出a，尸的关系如图，过A作AFDCD,

由旋转可得，口ADEutDACBua,

OCDODE,

OOADC=a-90°,

由旋转可得，AC=AD,CAD=2p,

□□DAF=p,

ORtDADF中，□DAF+CADF=90°,即p+a-90°=90°,

□a+p=180°.

故答案为：a+P=180°.

【点睛】

本题的关键是做辅助线，用含有字母圆尸的式子表示出1ADC与二DAF

14.（2018・上海奉贤区•九年级二模）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转a（0°<«<90°）得到AB',

边AC绕着点A逆时针旋转£（0°</<90°）得到AC,联结8'。'.当。+力=90"时，我们称△AB'C'是

△A8C的“双旋三角形”.如果等边△ABC的边长为a,那么它的“双旋三角形”的面积是（用含a的

代数式表示）.

1,

【答案】-a2.

4

【解析】

首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出口48。是顶角为150。的等腰三角形，其中过。作

CD4B吁D,根据30。角所对的直角边等于斜边的一半得出。。然后根据S即

222

可求解.匚等边口力8。的边长为a,UAB=AC=a,JBAC=60°.

□将口/BC的边42绕着点/顺时针旋转a（0。＜（1＜90。）得到力夕，UAB'=AB=a,QB'AB=a.

□边4C绕着点4逆时针旋转。（0。＜。＜90。）得到4C,OAC=AC=a,DCAC=fi,

0□B'AC=OB'AB+UBAC+CCAC,=a+60°+p=60°+90°=150°.

如图，过。作。。口4?于。，则口。=90°,DAC=30°,QCD=-AC=-a,SAB'C=~AB''CD=-a--a=-

222224

a2.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、

后的图形全等.也考查了含30。角的直角三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积.

3

15.（2019•上海徐汇区•中考模拟）在梯形48CD中，ABUDC,UB=90°,BC=6,CD=2,taM=—.点E为

4

BC上一点,过点E作E尸□/£＞交边48于点F.将口8底尸沿直线E尸翻折得到LiGEF,当EG过点。时，BE的长

为.

【答案】—.

12

【解析】

【解析】

?

根据平行线的性质得到□力=\JGFE=nAMFf根据轴对称的性质得到□GFE=E13/E,求得一l/=EUM凡

得到力F=FM,作DQQ4B于点Q,求得EUQOnUQOBngO。.根据矩形的性质得到。。=。8=2,QD=CB=6,

求得力。=10-2=8,根据勾股定理得到力。=J64+36=10,设EB=3x,求得FB=4x,CE=6-3x,求得4F

=MF=]0-4x,GM=8x-10,根据相似三角形的性质得到GZ)=6x-—,求得£>£>="■-3x,根据勾股定理列

22

方程即可得到结论.如图，

UEF3AD,

□口/=口£必，□GFE=EUA/F,

□□G必与□母国关于历对称,

□□GFEDDBFE,

□□GFE=n^F£1,

□□4斯是等腰三角形，

UAF=FMf

作DQUAB于点。，

□□40。=口。。=90。.

□4B1DC,

□□6=90。，

口四边形CQQ8是矩形，

\JCD=QB=2,QD=CB=6,

口10=10-2=8,

在Rtn/Z)。中，由勾股定理得

^=<64+36=10,

3

□taa4=—,

4

„BE3

□tanZ£F^=-----=一,

BF4

设EB=3x,

口FB=4x,CE=6-3x,

QAF=MF=W-4xf

□GM=8x-10,

□□G=G5=DQQ4=90。，DGMD□J,

nnDGMUQDQAf

DGGM

□=------,

DQAQ

QGD=6x------,

2

15

DE=——3x,

2

在RtZJCEO中，由勾股定理得

15,,

(------3x)2-(6-3x)2=4,

2

AS

解得:3x=—,

12

□当EG过点。时BE=—.

12

故答案为：—.

12

【点睛】

木题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的

运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键.

16.（2018上海青浦区•中考模拟）已知，在Rt匚ABC中，E）C=90。，AC=9,BC=12,点D、E分别在边AC、

BC上，且CD:CE=3：4.将DCDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是DABC

的平分线，此时线段CD的长是.

【答案】6

【解析】

分析：设8=3x,则CE=4x,BE=12-4x,依据口后8尸=口£尸3,可得EF=BE=12-4x,由旋转可得。F=CD=3x,

再根据RtaDCE中，CO+CE'DE2,即可得到（3x）2+（4x）2=（3x+12-4x）2,进而得出C£>=6.

CDCA3

详解：如图所示，设CD=3x,则CE=4x,8E=12-4x..——=—=-,DCE=QACB=90°,ACBDCE,

CECB4

QQDEC=QABC,DAB2DE,日口ABF7BFE.又/平分LS8C,DQABF=DCBF,QUEBF=3EFB,

UEF=BE=\2-4x,由旋转可得。F=CD=3x.在RtZLDCE中，0(3x)2+(4x)2=(3X+12

-4x)2,解得折2,X2=-3(舍去)，DCZ>=2x3=6.故答案为6.

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心

的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

17.（2018•上海徐汇区•中考模拟）在E1ABC中，OC=90°,AC=3,BC=4（如图），将E2ACB绕点A顺时针方向

旋转得ADE（点C、B的对应点分别为D、E）,点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F,则线段AF的长

为.

【答案】—

【解析】

如图，DDACB绕点A顺时针方向旋转得二ADE（点C、B的对应点分别为D、E）,

OAD=AC=3,DE=CB=4,AB=AE,LJADF=aC=90o,

BD=DE=4,

设DF=x,AF=y,

□□AFD=nBFC,

□□FDADDFCB,

xy3

□------=------=-

3+y4+x4

□4y=3x+12,4x=3y+9,

.3y+9—

□4y=3x-^—+12,

75

□y=——，

7

75

即线段AF的长为一.

7

75

故答案为3-.

18.（2019•上海市西南模范中学九年级二模）如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2

的圆上，顶点C、D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路

线长为.

【答案中

【解析】

作辅助线，首先求出「D，AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决P'

如图，分别连接OA、OB、0D\OC、OC；

OOA=OB=AB,

□□OAB是等边三角形，

□□OAB=60°；

同理可证：口OAD，=60。,

□□D'AB=120°；

□□D'AB'=90°,

□□BAB'=120°-90°=30°,

由旋转变换的性质可知□CACulBABuBO。；

L四边形ABCD为正方形，且边长为2,

□□ABC=900,AC=722+22-2A/2，

30乃x25/2_叵兀

□当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为:

180~

故填：叵

3

点睛：本题主要考查了旋转的性质及其应用问题，解题的关键是作辅助线准确求出旋转角，判定滚动一周回到原

位置时，点C运动的路径的轨迹.二、解答题

19.(2021•上海浦东新区•九年级一模)四边形ABCD是菱形，BW90。，点E为边BC上一点，联结AE,过点E

作EFL3AE,EF与边CD交于点F,且EC=3CF.

(1)如图1,当口8=90。时，求S.BE与SECF的比值；

(2)如图2,当点E是边BC的中点时，求COSB的值；

(3)如图3,联结AF,当匚AFE=DB且CF=2时，求菱形的边长.

图1图2图3

91

【答案】(1)一;(2)•—；(3)17.

45

【解析】

BFAB

(1)先证明：BEAsflCFE1，可得：=，结合：EC=3CF,可得：AB=3BE,再设CF=a,BE=b,

CFCE

3

可得45=8。=人+3。,而43=3。，建立方程：A+3a=3。,可得：b=-a,再利用相似三角形的性质可得

2

答案.

(2)延长相交于G,过F作于〃，连接AR先证明：口ABE也DGCE,可得:

AB=CG，AE=GE,证明：AF=FG,设。^二。，再设OH=x,利用

AF2-AH?=F"2=Dp2—D"2求解》可得cos。，从而可得答案；

(3)如图，过E作EG_LDC交。。的延长线于G,延长CG至“，使CG="G,证明：EH=EC=6,设

DF=x,HG=GC=y,证明：ZAFE=NB=ND=NECH=NH,可得:

EFv

cocZAFE=—=cosN”=工再证明：口EEHSQAED,利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得

AF6

答案.解：(1):四边形ABCD是菱形，N8=90。，

四边形ABCD是正方形，

NB=NC=90°,

ZBAE+ZBEA=90°,

QEF±AE,

：.ZBEA+ZCEF=9Q°,

NBAE=NCEF,

.DBEA^OCFE,

BE_AB

"'CF~~CEf

BE_CF

'~AB~~CE"

-EC=3CF,

/.AB=3BE,

设CF=a,BE=b,

/.CE=3a,

AB=BC=b+3a,

而AB—3BE—3b,

b+3a=3b,

3

-2-

2

rz92

'^

s29

A-

-AB---

sCE%4

7

(2)延长AE,DC相交于G,过产作FH1A。于“，连接AR

AHD

•••菱形ABC。,

AB//CD,

NBAE=NG,

•.•E为BC的中点，

:.BE=CE,

ZAEB=ZCEG,

:DABE^]GCE（AAS）,

AB=CG,AE=GE,

•/AEA.EF,

AF=FG,

设C/=a,则CE=BE=3a,AB=BC=DC=CG=AD=