【解析】黑龙江省哈尔滨市师大附中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

哈师大附中2018级高二下学期期中考试数学试题一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分.每题有且只有一个正确选项.）1.甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（）A.8种 B.16种 C.32种 D.64种【答案】A【解析】【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有种安排方法；则这4名同学的站队方法有种；故选：A.【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.在上取最大值时，的值为（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得最大值的的值为，故选B.考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.3.某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A.23 B.27C.31 D.33【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样方法，共有学生52人，抽取一个容量为4的样本，分成四组，每组13个，根据座号即可求出每个样本的座号【详解】由题：某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，则分段间隔为，已知抽到5号，则其余座号应该18,31,44号故样本中还有一个同学的座号为31.故选：C【点睛】此题考查系统抽样方法，根据系统抽样方法确定每组选出的编号，属于简单题目.4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.的展开式中，含项的系数为（）A.16 B.16 C.8 D.8【答案】B【解析】【分析】利用多项式乘法法则，需求的展开式中和的系数．【详解】由题意所求系数为：．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式系数，根据二项式展开式通项公式可得各项系数．本题需要用多项式乘法法则计算．中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意,,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.a是函数的极小值点，则（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】求导并化简可得，列表即可求出极小值点，得解.【详解】解：因为，所以可得，和如下表2+00+↗极大值↘极小值↗故选：C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数极值点，属于容易题.8.某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A.60 B.48 C.36 D.24【答案】D【解析】【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为，得解．【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为，故选：D．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】当时，，，则，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；且当时，，又因为函数为奇函数，故选B.点睛：本题主要考查了已知函数的解析式，找到相对应的函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化；知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项，注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．10.某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，列出分布列，进而可求得的数学期望.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为.故选：C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，一般要列出随机变量的分布列，考查计算能力，属于中等题.A，B分别是双曲线的左右顶点，点M在E，则双曲线E的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，进一步求出点的坐标，再代入双曲线方程中，得出的关系即可.【详解】解：易知双曲线右支上，不妨设在第一象限，如图，，所以，由余弦定理得，,,过作轴于，则，，所以，所以，，则双曲线E的渐近线方程为.故选：C【点睛】考查双曲线的几何性质、数形结合思想、逻辑推理能力以及运算求解能力,属于基础题.上的函数，为其导函数，满足，且，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的运算法则，求出函数的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解.【详解】，，，，，解得，，，不等式对任意恒成立，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，解得，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，当时，取得极大值，也是最大值，，，实数a的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：恒成立；恒成立；有解；有解；无解；无解.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）在点处的切线方程为________________．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得在点处的切线的斜率为，进而可求解切线的方程，得到答案．【详解】由题意，函数，则，则，即在点处的切线的斜率为又由，即切点的坐标为，所以在点处的切线的方程为，故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．【解析】【分析】根据二项分布，由公式得到结果.【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．，则（1）__________；（2）__________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】令可得的值，然后两边求导可得：，令即可得出所求的值.【详解】令中可得，

两边求导可得：，

令可得：.

故答案为：1，.【点睛】本题考查了二项式定理的性质及其应用、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：）最大时，的边长为_________（）.【答案】【解析】【分析】连接，交于点，设，求出，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出时，所得三棱锥体积最大时，进而得解.【详解】如图，连接，交于点，连接，由题意，知，，，所以，，所以，设，则，，三棱锥的高，，则三棱锥的体积，令，则，令，即，解得，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，当时，取得极大值，也是最大值，此时，，所以，当所得三棱锥体积最大时，的边长为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，1822题每小题12分.）.（1）当时，求的单调区间；（2）当，且时，求证：.【答案】（1）递减区间，递增区间，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）导数大于零得增区间，小于零得减区间，注意函数的定义域即可.（2）证明转化为求函数的值域，进一步研究函数的单调性即可.【详解】解：.（1）当时，的定义域为，，∵，或.∴的递减区间，的递增区间，.（2）当，且时，.∵，∴在上递增，∴.【点睛】本题考查函数的单调区间和证明不等式，证明不等式转化为求函数的值域；中档题.18.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【答案】(1)见解析.(2)甲比乙的射击技术好.【解析】【分析】（1）由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手每次射击中的环数大于环，且甲射中环的概率分别为，可以得到，解出的值，再有随机变量的意义得到相应的分布列；（2）由于（1）中求得了随机变量的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差可得甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.【详解】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为：ξ10987Pη10987P(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值,若均值相同再用方差来决定.，函数图象上有两动点、.（1）用表示在点处的切线方程；（2）若动直线在轴上的截距恒等于，函数在、两点处的切线交于点，求证：点的纵坐标为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将两切线方程联立，求出点的纵坐标，进而可证得结论.【详解】（1），，所以，函数在点处的切线斜率为，因此，函数在点处的切线方程为，即；（2）设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，.由于抛物线在点处的切线方程为，则该抛物线在点处的切线方程为，联立，解得，因此，点的纵坐标为（定值）.【点睛】本题考查抛物线切线方程的求解，同时也考查了抛物线中定值问题的证明，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）求；（iicm以上的概率.参考数据：若，则，，，，，.【答案】（1），；（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解；（2）（i）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii）由题意结合正态分布的性质可得，再由即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为，则第五组的频率为，第二组的频率为，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故，；（2）由题知，，（i）；（ii），故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率：.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.21.2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（20182020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？附，，（2）某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）满足回归直线方程，数据统计如下：志愿者人数（人）23456日垃圾分拣量（千克）25304045已知，，，根据所给数据求和回归直线方程，附：，．（3）用（2）中所求的线性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值．当分拣数据与估计值满足时，则将分拣数据称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记表示取得“正常数据”的个数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）至少20人；（2）；（3）分布列见解析，【解析】【分析】(