2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（文科）（解析版）

2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（文科）

一、选择题（每小题5分）.

1.已知集合人={（x,>-）l><V3-x2）为）'eN},则集合A中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知复数z上图-，

则它的共输复数等于（)

1

A.2-iB.2+iC.-2+zD.-2-i

3.已知向量？=（2,3）,（-1,入），若向量7-2芯与向量；共线，则后1=（）

A.工B.C.-/13D.—

22"4

4.已知样本数据为XI,X2,X3,X4,X5,该样本平均数为4,方差为2,现加入一个数4,得

到新样本的平均数为7,方差为$2,则（）

2222

A.x>4,s>2B.x=4，S<2C.x<4,s<2D.x=4,s>2

5.己知等比数列{〃〃}中，。2+。4=3等0a3=9,则公比4=（）

或上或

A・9或-11B.3或-11C.3D.3-3

3

则cos(a-3^)=()

6.已知a为第二象限角，且tan(a-n)=

A.匝B,一叵历历

\r_z・3--------Un•3---------

10101010

7.设O为坐标原点，直线/过定点（1,0），且与抛物线C：y2=2px（p>0）交于A,B

两点，若OALOB,\OA\^\OB\,则抛物线C的准线方程为（）

A.X---B.X---C.X--1D.X--2

42

8.已知点P（l,2）,则当点P到直线2ar+y-4=0的距离最大时，a—（）

A.1B.——C.—D.

44

9.某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已

知声强/（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L

（单位：dB）与声强/的函数关系式为L=10・/g（“/）.已知/=1013印/m2时，L=U）dB.若

整改后的施工噪音的声强为原声强的IO?,则整改后的施工噪音的声强级降低了（）

A.50dBB.40dBC.30dBD.20dB

10.给出下列命题：①/〃2>?,@/n2>—,@log23>log58,其中真命题为()

3e

A.①②B.②③C,①③D.①②③

11.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）

iE松图

侬程图

A.1B.2C.D.

55

12.已知函数/（x）=siax+cosxsinA-,则下列关于函数/（x）的说法中，正确的个数是（）

①2n是f（%）的周期；

@f（x）是偶函数；

⑨（X）的图象关于直线对称；

@f（X）的最小值是一3返.

4

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知命题p：Vx6[l,2],x2-ca-3<0,若p为真命题，则a的取值范围为.（结

果用区间表示）

22

14.已知双曲线与三=1（a>0,b>0）的右焦点为尸（2,0）,点尸到其渐近线的距

离为1,则双曲线的离心率为.

15.某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件4产品需原料3吨，利润为5

万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元,A产品的件数不能超过8产品的件数的

则工厂最大利润为万元.

16.已知在三棱锥尸-A8C中，ZBAC=90°,AB=AC=4,ZAPC=30°,平面尸47_1_平

面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cosC=亘-

b2b

CD求角B；

(2)若AABC外接圆的半径为力,且AC边上的中线长为苧，求△ABC的面积.

18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24,16,8.现在医务室通过血检进

行一种流行疾病的检查.

(1)现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工

中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？

(2)将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴

性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人

呈阳性，再逐个化验.已知每组化验结果呈阴性的概率都为《，记2,3,4)

2

为“第，•组化验结果呈阴性"，&(，=1，2,3,4)为“第i组化验结果呈阳性”，请计

算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率.

19.已知四边形ABC。，AB=AD=2,NBAD=60°,ZBCD=30°.现将△A8O沿8。边

折起，使得平面AB。，平面BCD,AOCD点P在线段4。上，平面BPC将三棱锥A

-BCO分成两部分，VA-BPC：VA.BCD^\：2.

(1)求证：5PL平面AC£>；

(2)若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离.

20.己知F是椭圆C：七，彳=1(4>6>0)的左焦点，焦距为4,且过点尸(J3，1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线八，h,若人与C交于A,B两点,/2与C交于。，E

两点，记AB的中点为M,OE的中点为M试判断直线MN是否过定点，若过定点，请

求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.

21.己知函数/(x)=e一履2,其中/为实数，e为自然对数的底数.

(1)若女=£，证明：当x20时，于32x+l恒成立；

(2)当x20时，/'(x)22x+l-siiir恒成立，求攵的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。［选修4・4：坐

标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系直方中，曲线C的参数方程为(*(a为参数).以坐标

yW2sinJ

原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为J5Pcos(等

-0)=1.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的倾斜角；

(2)已知点M的直角坐标为(0,1),直线/与曲线C相交于不同的两点A,B,求

的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(九)=\x+a2-l|+|x-6|.

(1)当a=0时，解不等式/(x)>12；

(2)记集合M={x|/(x)-26=0},若存在a£R使M关0,求实数b的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.己知集合A={（x,y）1内34，%yeN},则集合A中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

解：由己知可得满足条件的点有（0,0）,（0,1）,

（1,0）,（1,1）共4个点，

所以集合A中的元素共有4个，

故选：B.

2.已知复数z」%，则它的共辗复数等于（）

1

A.2-fB.2+iC.-2+iD.-2-i

窃斜l+2ii-2.

解：复数z=­；—=——=2n-i

i-1

所以它的共辗复数^=2+i

故选：B.

3.已知向量之=（2,3）,4=（-1,入），若向量7-2石与向量之共线，则后尸（）

A.VB.隼C.任D.学

解：根据题意，向量Z=（2，3）,（-1,入），则工-2石=（4,3-2人），

又由向量彳-21与向量彳共线，则有2（3-2入）-3X4=0,

解可得：入=-"I,

故选：B.

4.已知样本数据为XI,X2,X3,X4,X5,该样本平均数为4,方差为2,现加入一个数4,得

到新样本的平均数为7,方差为S2,则（）

A.x>4-S2>2B.7=4,S2<2C.^<4,s2<2D.^=4,s2>2

解：因为XI,X2,X3,X4,X5的平均数为4,方差为2,

所以当加入一个数4,得到新样本的平均数为(4X5+4)=4，

0

方差为5^=1X[5x2+(4-4)2]2-

63

故选：B.

5.已知等比数列｛小｝中，42+44=30,4143=9,则公比()

A.9或-11B.3或-11C.3或2D.3或-3

3

「3

a,q+a,q=30

解：由42+44=30,4143=9,可得々，

22_

q-9n

解得q=±3,

故选：D.

6.已知a为第二象限角，且tan(a-ir)=-1，则cos(a)

2

A逗B_逗C3V10

10101010

解：；a为第二象限角，且tan(a-IT)=-《，

2

/.tana=-1,即星21

2cosa2

又sin2a+cos2a=1，

;.sina=立，cosa=275

55_____

*(a弓)=岑C)=冬(一攀噜)=隔

故选：A.

7.设。为坐标原点，直线/过定点(1,0),且与抛物线C：^=2px(p>0)交于A,B

两点，若OALOB,\OA\=\OB\,则抛物线C的准线方程为()

A.X---B.X---C.X--1D.X--2

42

解：因为三角形AOB为等腰直角三角形，所以直线/的方程为：x=l,

JT

根据抛物线的对称性可以确定/AOx=ZBOx=—1，所以A(l,1),

代入抛物线方程可得1=20即0=/，

所以抛物线的准线方程为：x=-±.

故选：A.

8.已知点P(l,2),则当点P到直线2〃x+y-4=0的距离最大时，a=()

A.1B.-----C.—D.

44Y?

解：因为直线2〃x+y-4=0恒过定点4(0,4),

故当幺与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P,A的直线的斜率为-

2,

所以直线2ar+y-4=0的斜率为

故

4

故选：B.

9.某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已

知声强/(单位：W/4)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L

(单位：dB)与声强/的函数关系式为£=10・/g(a/).已知/=1。13卬/加2时，L=1(WB.若

整改后的施工噪音的声强为原声强的102则整改后的施工噪音的声强级降低了()

A.50dBB.40dBC.30dBD.20dB

解：由题意可知，L=10・lg(a/),

当/=1013回,”2时，L=10dB,有10=l(Wga・l(P,解得.二0巴

故有L=10»/gl012/,

当变为原声强的IO?时，/=10"川/〃落

有L=10・/gl0%[on,可得/=-IO”B,

由此可知降低了10dB-(-10dB)=20dB,

故选：D.

10.给出下列命题：①加2>?,(2)ln2>—,(3)log23>log58,其中真命题为()

3e

A.①②B.②③C.①③D.①②③

解：对于①，即2>仔，故①正确；

对于②，由ln2>2,转换为萼>卫丝，

设f(x)=—,则f'(x)，l产,令/(x)=0,解得x=e,

xx

当在(0,e)时，函数，(x)>0,当xe(e,+~)时，f(x)<0,故函数f(x)

在(0,e)上单调递增，

故当2〈工也，BPln2<-,故②错误；

2ee

对于③，k)g23>10g58,

转换为1。8234=1。82食，由于楙，故号>1

所以

223>222

32

1Og3=1g>0

2^°2T.B|Jl0g93>4.

222

183

对于1=58得=侬5/,由于8<55,

5

,,0<-V<1

故2.，

52

所以log58v■<。，所以1og58<多

故Iog23>log58,

故③正确.

故选：C.

11.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）

D.等

解：由题意几何体是四棱锥尸-ABCC,过P作PELAO于E,

在正方体中有平面PAD,所以COLPE,

又因为ADCCD=。，所以PE_L平面ABC。，

所以四棱锥的高为PE,

由三视图可知、后，PEX、而=2X2,解得PE=3区.

5

所以该四棱锥的高为：生度.

5

故选：D.

B

12.已知函数/(%)=sinx+cosxsinx,则下列关于函数/(x)的说法中，正确的个数是()

①2TE是f(x)的周期；

(X)是偶函数；

一TT

③/(无)的图象关于直线l=看对称；

®f(X)的最小值是-昌返.

4

A.1个B.2个C・3个D.4个

解：函数/(%)=sinx+cosxsiri¥,

对于①，函数/(X+2TI)=sin(x+2ir)+cos(x+2n)sin(X+2TT)=f(x),所以2TT是/

(x)的周期，故①正确；

对于②，函数/(-九)=sin(-x)+cos(-x)sin(-x)#f(x),故函数f(x)不是

偶函数，故②错误；

对于③，/(K-x)=sin(it-x)+cos(n-x)sin(n-x)W/(x),故函数/(x)的图

TT

象不关于直线•对称，故③错误；

④由于/(x)=sin^+cosxsiar,

所以，(x)=cosx+cos2x-sin2x=2cos2x+cosx-1,

1

令，(x)=0,解得cosx=-l或cosx方，

当cosx=工时，即sinx=返，

22

于(x)的最小值是-aS,故④正确.

4

故选:B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.己知命题p：VA-G[1,2],X2-ax-3W0,若p为真命题，则a的取值范围为」/,X包

(结果用区间表示)

2_no

解：命题p：VAG[1,2],x2-ar-3^0,即-士对于在“，2]上恒成立,

XX

即/(x)=》一2，根据函数的性质函数f(x)在定义域内单调递增，

X

故f(x)max=f(2)=2-1=|)

故。的取值范围为[*,+°°).

故答案为：[!",+8).

22

14.已知双曲线七三=1(。>0,8>0)的右焦点为尸(2,0),点尸到其渐近线的距

离为1,则双曲线的离心率为z返

一3

22

解：双曲线与三=1(a>0,b>0)的右焦点为尸(2,0),点尸到其渐近线的距离

a2^

为1，

可得双曲线的渐近线的倾斜角为：各，斜率为：返，所以包q巨,

63a3

故答案为:

15.某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5

万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元,4产品的件数不能超过8产品的件数的看,

则工厂最大利润为26万元.

解：设生产A产品x件，8产品y件，总利润为z,

'3x+y<18

O

则，X《石y，目标函数Z=5x+y,作出可行域如图:

O

X,y€N

结合图形可知，当直线y=-5x+z过A(4,6)时，z有最大值为：5X4+6=26..

故答案为：26.

16.已知在三棱锥P-ABC中，/B4C=90°,4B=AC=4,ZAPC=30°,平面PAC_L平

面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为807r.

解：由题意可知，P点在圆周上运动，则PAC的外接圆的半径为r,2r=.=8,

sin30

解得r=4,如图，因为平面R4C_L平面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,所以48c的

外接圆的圆心是BC的中点，几何体的外接球的球心是ABC外心的中垂线与圆PAC的圆

心的中垂线的交点。，由题意可得/?=，=2+(方梯)2=&5，

所以三棱锥P-A8C外接球的表面积为：4nR2=80n.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,且满足cosC=^-F.

b2b

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的半径为且AC边上的中线长为窄，求△ABC的面积.

解：(1)由cosC=3--二-,

b2b

可得20cosC=2〃-c,

由正弦定理可得2sinBcosC=2sirb4-sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,

可得sinC=2sinCcos^,

又sinCWO,

所以cos3=*,

因为6为三角形内角，

所以8=专,

(2)由正弦定理可得/k=2«,可得6=3,

sino

设。为AC边上的中点，则40=3，8。=1，2方=忌+皮，

22

两边平方，可得4而2=或2+前42裾•皮，即\1=c2+a2+ac,

由余弦定理可得按=〃+c2-2«ccosB,即9="2+°2-砒,

两式相减可得8=2砒，即ac=4,

所以SAA8C=/acsinB=y.

18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24,16,8.现在医务室通过血检进

行一种流行疾病的检查.

(1)现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工

中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？

(2)将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴

性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人

呈阳性，再逐个化验.已知每组化验结果呈阴性的概率都为《，记B(i=l,2,3,4)

为“第，•组化验结果呈阴性"，E，(i=l,2,3,4)为“第i组化验结果呈阳性”，请计

算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率.

解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1,

由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人，

该企业总共有24+16+8=48名员工，

记事件A：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等,

，每位员工被抽到的概率为

488

(2)记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件B,所有分组化验的结果有16种,

分别为:

(Bi,Bi,a,&)(BpB2»B3,,(Bj,B2，B3,B4),

(Bi,B?，B3,B4),(BpB2>B3,Bp,

(Bj,^2,84),(B],B»B3,B),(BpB»

ft,242B3,B4),

(Bi,B?，B3,B4),(BpB2»B3,Bp,

(B1B2B3,B4),(B],B2»B3,B4),(B[,B2,B3，B4)

£)，

(B[,B2，B3,(BpB2»B3,B4),

(BpB2，B3,B4),

其中，恰有两个组化验结果呈阳性，即需要进一步逐个化验的情况有6种，分别为：

再，瓦，&,54),(可，B2，可，B4),国，B2，B3，可)，

(BpB2»B3,B4),(Bj,B2»B3,Bp,(B1B2B3,B4),

每组化验结果呈阴性与阳性互为对立，

每组化验呈阳性的概率都为微，

则上述每个结果出现的可能性都相等，

恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为P(B)=2=3.

168

19.已知四边形ABCQ,AB=AD=2,NBAQ=60°,ZBCD=30°.现将△AB。沿8。边

折起，使得平面平面BCD,AOJ_CQ.点P在线段AQ上，平面BPC将三棱锥A

-BC£)分成两部分，VA-BPC：VA-BCD=\：2.

(1)求证：BP_L平面4cA

(2)若用为CD的中点，求M到平面BPC的距离.

日D

\ly

Cc

【解答】（1）证明：因为A8-AO,ZBAD=60°,所以△A3。为等边三角形,

因为以-BPC：VA-BCD=1：2,VA-BPC=VD-BPCF

设点到平面BPC的距离为自，点D到平面BPC的距离为hD,

所以•SABpcSABpc'hD>

所以自=必，即受=/=1，所以P为A。的中点，所以BPLAO,

hDDP

取8。的中点E,连结AE,则AELB。，

又因为平面AB£>J_平面BCD,平面ABOC平面BC£）=B。，且AEu平面AB。，

所以AE_L平面BCD,因为CCu平面BCQ,所以AE_LCQ,

XCDLAD,AEQAE=A,AE,AE^ABD,所以CC_L平面A8D,

因为BPu平面ABD,所以COLBP,

又因为AOCCD=。，AD,COu平面AC。，

所以8P_L平面AC。；

（2）解：因为E为8。的中点，正三角形ABO的边长为2,所以AE=F，

由（1）可知AEJ_平面BCD,又因为P为A。的中点，

所以点P到平面BCD的距离为卜二岁，

连结8M,由（1）可知，CDLBD,ZBCD=30°,

所以CO=2W，BC=4,BP=M，

所以SABCM•BDVX«X2/

由（1）可知，2PJ_平面AC£>,CPc5]2®ACD,所以BPJ_CP,

X

所以SABCp十BP•CP=yXA/3V13"P"

设点M到平面BPC的距离为d,

则由等体积法可得，VM-BCP=VP-BCM,

所以,•SABCP,d=y'SAECM'H，

故SABCM，HX~V39

^ABCP13

2_

故点M到平面BPC的距离为运.

13

20.已知F是椭圆C：^--^—=1（a>b>0）的左焦点，焦距为4,且过点尸（«,1）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F作两条互相垂直的直线小12,若/1与C交于A,B两点，/2与C交于。，E

两点，记48的中点为M,OE的中点为N,试判断直线MN是否过定点，若过定点，请

求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.

f2c=4

3ia=，6

解：⑴由题意可知|=,解得Jb=V^，

abv

c=2

a2=b2+2c

22

...椭圆c的方程为："

62

（2）由题意知，当直线/i,/2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0,此时直

线MN的方程为y=0,

当直线八，b斜率都存在时，设/i：x^tny-2（机W0）,

x=iny-2

设点A（xi,yi）,B（及，”），联立方程，丫22

化简可得(/+3)y2-4my-2=0,且△>(),

4m-2

所以yjy2n2c，丁”=2，

m+3m+3

-12

则x\+x2=m(ji+y2)-4=

m2+3,

/-62m、

：.M(一5—，——)

m+3m+3

1c

x=­y-2

m_6IR2-2m

同理由,22可得N(

23m2+1'

x\y乙i3m+1

621

21n+2m

22

m+33m+l4m

则kMN=

6%6IR2

m2+33m2+l

2m4mz6s

所以直线的方程为

MNy-tn2+33(K-1)

2m

化简得：尸

3(m2-l)m2-l3(m2-l)

此时直线MN过定点(-导，0),

2

易知当直线八，/2其中一条的斜率不存在时，直线的方程为y=0,亦过点(-"I，0),

综上所述，直线MN恒过定点(-导，0).

2

21.已知函数/(X)=d--丘2,其中改为实数，e为自然对数的底数.

(1)若女得，证明：当工》。时，f(x)2x+l恒成立；

(2)当时，f(x)22x+l-siiir恒成立，求女的取值范围.

解：(1)证明：当％=工时，设g(x)=e'-^-x2-x-1(x^O),

22

g'(x)=*-尤-1,•••(1分)

贝ijg"(x)=4-120,

故g'(x)在［0,+8)上单调递增…

故当入20时，g'(x)》g'(0)=0,

故g(x)在［0,+8)上单调递增，…

故当x20时，g(x)2g(0)=0,

故当元20时，f(x)恒成立；・・・

(2)设h(x)=eK-kx2-2x-1+sinr(x20),

则〃(X)min》。,注意到力(0)=0,••・

则hf(x)=e“-2kx-2+cosx(xNO),

则"(0)=0・・・

h"(x)=ex-2k-sinx,h'r(0)=1-2%,

hr,'(x)=^-cosxG0,则力”(x)在［0,+°°)上单调递增，…

当％■时，h"(0)=1-2%20,由于公(x)在［0,+8)上单调递增，

则当x20时，h"(x)沁"(0)20,则〃'(%)在［0,+8)上单调递增，

故九'(%)2力'(0)=0,则4(x)在［0,+8)上单调递增，

故力(x)2〃(0)=0,符合题意；…

当上>工时，h"(0)=1-2k<0,