数值分析习题答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——数值分析习题答案第一章绪论

3．以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最终一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.解：x1?1.1021是五位有效数字；

*x2?0.031是二位有效数字；*x3?385.6是四位有效数字；*x4?56.430是五位有效数字；*x5?7?1.0.是二位有效数字。

******4．利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限：(1)x1?x2?x4,(2)x1x2x3,(3)x2/x4.其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。解：

************121*?(x2)??10?321*?(x3)??10?1

21*?(x4)??10?321*?(x5)??10?12?(x1*)??10?4***(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4)111?4?3?3??10??10??10222?1.05?10?3***(2)?(x1x2x3)*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)111?1.1021?0.031??10?1?0.031?385.6??10?4?1.1021?385.6??10?3222?0.215

**(3)?(x2/x4)?****x2?(x4)?x4?(x2)*x42110.031??10?3?56.430??10?322?56.430?56.430?10?56．设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?

1783（n=1,2,…）100计算到Y100。若取783?27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？解：?Yn?Yn?1?1783100?Y100?Y99?17831001Y99?Y98?7831001Y98?Y97?78310017831001783100……

Y1?Y0?依次代入后，有Y100?Y0?100?即Y100?Y0?783，

若取783?27.982,?Y100?Y0?27.982

1*??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3

21?Y100的误差限为?10?3。

29．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？解：正方形的面积函数为A(x)?x

22??(A*)?2A*??(x*).

当x*?100时，若?(A*)?1,则?(x*)?1?10?22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm10．设S?212gt，假定g是确凿的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t增加时S的212gt,t?022绝对误差增加，而相对误差却减少。解：?S???(S*))?gt??(t*当t*增加时，S*的绝对误差增加

?r(S*)??(S*)S*

gt2??(t*)?1*2g(t)2?(t*)?2*t当t*增加时，?(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。11．序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

2?1.41

解：?y0?1??(y0*)??10?2

2又?yn?10yn?1?1?y1?10y0?1??(y1*)?10?(y0*)又?y2?10y1?1??(y2*)?10?(y1*)

??(y2*)?102?(y0*)

0??(y10*)?110?y(0*)?10?101?1?022

18??102计算到y10时误差为

其次章插值法

1．当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。解：

1?108，这个计算过程不稳定。2x0?1,x1??1,x2?2,f(x0)?0,f(x1)??3,f(x2)?4;l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)1??(x?1)(x?2)

(x0?x1)(x0?x2)2(x?x0)(x?x2)1?(x?1)(x?2)(x1?x0)(x1?x2)6(x?x0)(x?x1)1?(x?1)(x?1)(x2?x0)(x2?x1)3则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x)??yklk(x)

k?02??3l0(x)?4l2(x)??(x?1)(x?2)?124(x?1)(x?1)3?5237x?x?6234．设为互异节点，求证：（2）证明

?(xj?0nj?x)klj(x)?0(k?0,1,?n,)(2)?(xj?x)klj(x)j?0n??(?Ckjxij(?x)k?i)lj(x)

j?0ni?0iknn??C(?x)(?xijlj(x))k?ii?0j?0n又?0?i?n由上题结论可知

?xl(x)?x

kjjij?0n?原式??Cki(?x)k?ixii?0n?(x?x)k?0

?得证。

5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：

1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x).a?x?ba?x?b8解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x)?f(x0)=?f(a)x?x1x?x0?f(x1)

x0?x1x?x0x?bx?a?f(b)a?bx?a

又?f(a)?f(b)?0?L1(x)?0插值余项为R(x)