实变函数(复习资料,带答案)

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《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分）1、以下各式正确的是（）

（A）limAn???Ak;（B）limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n?????二.填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________2、设E是?0,1?上有理点全体，则

?（C）limAn???Ak;（D）limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?nE=______,E=______,E=______.

'o2、设P为Cantor集，则以下各式不成立的是（）（A）P?c(B)mP?0(C)P?P(D)P?P3、以下说法不正确的是（）

(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若fn(x)?f(x),则fn(x)?f(x)(B)

sup?fn(x)?是可测函数（C）inf?fn(x)?是可测函数;（D）若

nn3、设E是Rn中点集，假使对任一点集T都

_________________________________，则称E是L可测的4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分〞，“必要〞，“充要〞）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，假使对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________,则称f(x)为

'??a,b?上的有界变差函数。

三、以下命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则

fn(x)?f(x),则f(x)可测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A)f(x)在[a,b]上有界(B)f(x)在[a,b]上几乎四处存在导数

（C）f'(x)在[a,b]上L可积(D)

ba?f'(x)dx?f(b)?f(a)

?Ef(x)?0

（第1页，共15页）

四、解答题（8分×2=16分）.

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)??，则f(x)在?0,1?上是否R??1,x为有理数一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．?2、?0,1?；?；?0,1?3、

可积，是否L?可积，若可积，求出积分值。

?ln(x?n)?xlimecosxdx2、（8分）求

n?0n五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c.2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则

limn?men?0.

nm*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?n?4、充要5、??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集。

?i?1?三、1．错误2分例如：设E是?0,1?上有理点全体，则E和CE都在?0,1?中稠密5分

2．错误2分例如：设E是Cantor集，则mE?0，但E?c，故其为不可数集5分3．错误例如：设E是?a,b?上的不可测集，

??x,x?E;f(x)??

???x,x??a,b??E;则|f(x)|是?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的可测函数?

4．错误mE?0时，对E上任意的实函数f(x)都有?f(x)dx?0

E5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，由于f(x)仅在x?1处连续，即不连续点为正测度集??..3分由于f(x)是有界可测

试卷一（参考答案及评分标准）

（第2页，共15页）

函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的?6分

11由于f(x)与x2a.e.相等，进一步，?f(x)dx??x2dx??8

0?0,1?3分

ln(x?n)?xecosx，则易知当n??时，2．解：设fn(x)?n?E?B,?B?c.??????????6分

2．?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x???.2

n??分

?xn?E,?f(xn)?a???????.3分

?f(x)在x点连续，?f(x)?limf(xn)?a

n??fn(x)?02分

?lnt?1?lnt又因???2?0，(t?3)，所以当n?3,x?0时，

t?t?ln(x?n)n?xln(x?n)n?xln3ln3???(1?x)??4分nnx?nn33ln3(1?x)e?x?????????6分从而使得|fn(x)|?3'?x?E??????5分

?E是闭集.??????????.6分

3.对??1，???0，使对任意互不相交的有限个

(ai,bi)?(a,b)

当?(bi?ai)??时，有?f(b)i?f(ai)?1??????2分

i?1i?1nn但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的，故有

lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0???????8分

n00n??五、1．设E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

?B是无限集，??可数子集M?B??????2分?A是可数集，?A?M?M.????????????.3

将[a,b]m等分，使?xi?xi?1??，对

i?1n?T:xi?1?z0?z1???zk?xi，有?f(zi)?f(zi?1)?1，所以

i?1k分

?B?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,f(x)在[xi?1,xi]上是有界变差函数??????.5分

???..5分

所以V(f)?1,从而V(f)?m，因此，f(x)是[a,b]上的有界

xi?1axib（第3页，共15页）

变差函数???..6分4、f(x)在E上可积

?limmE(|f|?n)?mE(|f|???)?0??2分

n??的

可测函数????????..10分

《实变函数》试卷二

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则M?(M?N)=（）

(A)M(B)N(C)M?N(D)?2.以下说法不正确的是()

E中无穷多个点，则PE的聚点(A)P0的任一领域内都有0是

据积分的绝对连续性，???0,???0,?e?E,me??，有

?|f(x)|dx?????.4分

e对上述??0,?k,?n?k,mE(|f|?n)??，从而

imn?me即ln?men??|f(x)|dx??，

ennn?0???????6分(B)PE中异于PE0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是

5．?n?N,存在闭集Fn?E,m?E?Fn??续????2分

1,f(x)在Fn连n2的聚点

E的聚点(C)存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是

令F???Fn，则?x?F??k,x??F,n?n?,kx?Fn?()fxk?1n?k???n?k在F连续???4分

又对任意k,m?E?F??m[E?(?Fn)]?m[?(E?Fn)]

n?kn?k????m(E?Fn)?n?k?1??????????.6分2k故m(E?F)?0,f(x)在F?E连续????..8分

又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可测函数，从而是E上

(D)内点必是聚点

3.以下断言()是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；

(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；

4.以下断言中()是错误的。

（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；

（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；

5.若f(x)是可测函数，则以下断言（）是正确

的

（第4页，共15页）

(A)f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积；(B)f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积(C)f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积;(D)f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积二.填空题(3分×5=15分)

111、设An?[,2?],n?1,2,?，则limAn?_________。

nnn??mP?_____，2、设P为Cantor集，则P?，P=________。

??3、设?Si?是一列可测集，则m??Si??______?mSii?1??i?1?4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8分×2=16分)

?x,x为无理数1、设f(x)??，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，

?1,x为有理数是否L?可积，若可积，求出积分值。2、求极限

1nx3lim?sinnxdx.n??01?n2x2五.证明题(6分×3+8?2=34分)

1.(6分)1、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对任意常数c，E?{x|f(x)?c}是一开集.

2.(6分)设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。

3.（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列fn(x)(n?1,2,?)在有界集E上“基本上〞一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x)。

5.（8分）设f(x)在E??a,b?上可积，则对任何??0，必存在E上的连续函数?(x)，使?|f(x)??(x)|dx??.

abo4、鲁津定理：

__________________________________________

5、设F(x)为?a,b?上的有限函