微分几何练习题库及参考答案(已修改)

本文格式为Word版，下载可任意编辑——微分几何练习题库及参考答案(已修改)《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．

t?22．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))?0．

t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?，?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，则

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264．已知r?(t)?a（a为常向量），则r(t)?ta?c．

15．已知r?(t)?ta，（a为常向量），则r(t)?t2a?c．

26.最“贴近〞空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.

9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线r?r(t)在t=2处有??3?，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点(u0,v0)处ru?rv?0，则(u0,v0)为曲面的_正常______点.12．已知f(t)?(2?t)j?(lnt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，则?13．曲线r(t)??2t,t3,et?在任意点的切向量为?2,3t2,et?．14．曲线r(t)??acosht,asinht,at?在t?0点的切向量为?0,a,a?．15．曲线r(t)??acost,asint,bt?在t?0点的切向量为?0,a,b?．

d(f?g)dt?2?6cos4．

dt041x?ee?z?1．16．设曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为?1e2?ey?17．设曲线x?etcost,y?etsint,z?et，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式kn?k1cos2??k2sin2?中，?是方向(d)与u－曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式?,??,???、高斯曲率?、平均曲率?之间的关系是????2H???K??0.22．已知r(u,v)??u?v,u?v,uv?，其中u?t2,v?sint，则23．已知r(?,?)??acos?cos?,dr??2t?cost,2t?cos,2tvt?ucostdt?．

acos?sin?,asin??，其中??t，??t2，则

1

dr(?,?)???asin?cos??2atcos?sin?,dt?asin?sin??2atcos?cos?,acos??．

24．设r?r(u,v)为曲面的参数表示，假使ru?rv?0，则称参数曲面是正则的；假使r:G?r(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面．

25．假使u?曲线族和v?曲线族四处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面r(u,v)??u,v,0?的第一基本形式为du2?dv2，面积微元为dudv．

27．悬链面r(u,v)??coshucosv,coshusinv,u?第一基本量是E?cosh2u，F?0,G?cosh2u．28．曲面z?axy上坐标曲线x?x0，y?y0的交角的余弦值是a2x0y0(1?ax0)(1?ay0)2222.

29．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2．30．双曲抛物面r(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv?的第一基本形式是

(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2．31．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的平均曲率为0．

32．方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0．33.方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是

II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0．

?E?L34.?是主曲率的充要条件是

?F?M?F?M?0．

?G?NEdu?FdvLdu?Mdvdv2?0或EL?dudvdu2FMG?0．N35.(d)?du:dv是主方向的充要条件是

Fdu?GdvMdu?Ndv36.根据罗德里格斯定理，假使方向(d)?(du:dv)是主方向，则

dn??kndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的微小曲面是平面或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率．39．k,kg,kn之间的关系是k2?kg2?kn2．

40．假使曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为

2

EvGu?d?=cos??sin??ds2EG2GE??ducos?．?=E?ds?dvsin??=G?ds42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题

1．已知r(t)??et,t,e?t?，则r??(0)为（A）．

A.?1,0,1?；B.??1,0,1?；C.?0,1,1?；D.?1,0,?1?.2．已知r?(t)??r(t)，?为常数，则r(t)为（C）．

A.?ta；B.?a；C.e?ta；D.e?a.其中a为常向量．

3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．

A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；

D．副法线与固定方向垂直．

4.曲面在每一点处的主方向（A）

A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）

A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.6.已知r(x,y)??x,y,xy?，求dr(1,2)为（D）．

A.?dx,dy,dx?2dy?；B.?dx?dy,dx?dy,0?；C.?dx-dy,dx+dy,0?；D.?dx,dy,2dx?dy?.7．圆柱螺线r??cost,sint,t?的切线与z轴（C）.

A.平行；B.垂直；C.有固定夹角

??；D.有固定夹角.438．设平面曲线C:r?r(s)，s为自然参数，?,?是曲线的基本向量．表达错误的是（C）．

A.?为单位向量；B.???；C.???k?；D.???k????.9．直线的曲率为（B）．

A.-1；B.0；C.1；D.2.

10．关于平面曲线的曲率C:r?r(s)不正确的是（D）．

A.k(s)??(s)；B.k(s)??(s)，?为?(s)的旋转角；C.k(s)?????；D.k(s)?|r(s)|.

11．对于曲线，“曲率恒等于0〞是“曲线是直线〞的（D）．

3

A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12．以下论述不正确的是（D）．

A.?,?,?均为单位向量；B.???；C.???；D.??.13．对于空间曲线C，“挠率为零〞是“曲线是直线〞的（B）．

A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.14．x?a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asint?在点t?的切线与z轴关系为（D）．22A.垂直；B.平行；C.成

??的角；D.成的角.34x2y2z215．椭球面2?2?2?1的参数表示为（C）．

abcA.?x,y,z???cos?cos?,cos?sin?,sin??；B.?x,y,z???acos?cos?,bcos?sin?,sin??；C.?x,y,z???acos?cos?,bcos?sin?,csin??；D.?x,y,z???acos?cos?,bsin?cos?,csin2??.

16．曲面r(u,v)??2u?v,u2?v2,u3?v3?在点M(3,5,7)的切平面方程为（B）．

A.21x?3y?5z?20?0；B.18x?3y?4z?41?0；C.7x?5y?6z?18?0；D.18x?5y?3z?16?0.

17．球面r(u,v)??Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu?的第一基本形式为（D）．

A.R2(du2?sin2udv2)；B.R2(du2?cosh2udv2)；C.R2(du2?sinh2udv2)；D.R2(du2?cos2udv2).18．正圆柱面r(u,v)??Rcosv,Rsinv,u?的第一基本形式为（C）．

A.du2?dv2；B.du2?dv2；Cdu2?R2dv2；D.du2?R2dv2.19．在第一基本形式为I(du,dv)?du2?sinh2udv2的曲面上，方程为u?v(v1?v?v2)的曲线段的

弧长为（B）．

A．coshv2?coshv1；B．sinhv2?sinhv1；C．coshv1?coshv2；D．sinhv1?sinhv2．

20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．

A．E?0；B．F?0；C．G?0；D．M?0．21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．

A．微小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直线（假使存在）的测地曲率等于（A）．

A．0；B．1；C．2；D．3．

4

23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．A．?lnE1?lnE；B．?；

2E?u2G?v1?lnG1?lnE；D．．

2E?v2G?u1C．?24．假使测地线同时为渐近线，则它必为（A）．

A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）

1.向量函数r?r(t)具有固定长度，则r?(t)?r(t).√2.向量函数r?r(t)具有固定方向，则r?(t)r(t).√

3.向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模r?(t).×4.曲线?的曲率、挠率都为常数，则曲线?是圆柱螺线.×5.若曲线?的曲率、挠率都为非零常数，则曲线?是圆柱螺线.√6.圆柱面r?{Rcos?,Rsin?,z},z?线是渐近线.√7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.×8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.√9.等距变换一定是保角变换.√

10.保角变换一定是等距变换.×11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.×