华理高数答案第1章

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第1次作业

教学内容:§1.1实数集区间§1.2函数的概念§1.3初等函数

1.选择题:

*（1）f(x)?(cos3x)2在其定义域(??，??)上是()

(A)最小正周期为(C)最小正周期为3?的周期函数；(B)最小正周期为2?3的周期函数；(D)非周期函数.答（B）?3的周期函数；

(A)在(??，??)单调减；(C)在(??，0)内单调增，而在(D)在(??，0)内单调减，而在(B)在(??，??)单调增；(0，??)内单调减；(0，??)内单调增.**（2）设f(x)?xx，(??，??)，则f(x)()

答（B）

的是()**（3）以下函数中为非偶函数(A)y?sinx?(C)y?22?12?1xx；x?3x?4；2(B)y?arccosx；(D)y?x2

lg(x?1?x).2x?3x?4?1?x答（B）

**2.设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。

ADr?解：如图，因?AOD～?ABC?，ACR故R?rh(h?r)2?r22，，

体积V??rh3[(h?r)23?r]2(2r?h???).

**3.设对一切不等于0及?1的实数x恒有

1

2f(x)?xf()?x21x?2xx?12，

（1）证明f(x)?2xf()?x解：（1）以

11212x?xx?122；（2）求f(x).x?2xx?122代入式2f(x)?xf()?xx12x?11中的x，可得2x?xx?122f()?2f(x)?,?2xf()?f(x)?xx(x?1)xx1,

（2）在上式与所给之式中消去f()得:

x13f(x)?2x2?4x?2xx?12?x?3xx?1

就可以得到f(x)?

***4.设函数

xx?1.

1??x?,x??1f?x???x?x,x??1?x?1??x,?和g?x???1x?,x?1?x?求F?x??f?x?g?x?的表达式，并求F?0?及F?2?.解：

1??x??时，F?x??g?x??f?x????x???x????x2?1；

x???1?x?1时，F?x??f?x??g?x??x???x???x2；

1??x?1时，F?x??f?x??g?x??x??x???x2?1，

x????x2?1,x??1,?2?F?x????x,?1?x?1,?F?0??0，F?2??22?1?5.

?2x?1,?x?1,

x***5.设x?0时，f?x??2?x?1.

?1?若f?x?是???,???上的奇函数，试写出x?0时，f?x?的表达式；?2?若f?x?是???,???上的偶函数，试写出x?0时，f?x?的表达式.解：?1?x?0，则?x?0，?12xf??x??2?x???x??1，

?f?x?是奇函数，?f??x???f?x?，?f?x???f(?x)??

?x?1?x?0?.

?2?x?0，则?x?0，

2

?f??x??2?x???x??1，?f?x?是偶函数，?f??x??f?x?，?f?x??

**6.?1?设函数f?x?在??l,l?上有定义，试证明??x??数，而??x??f?x??f??x?2f?x??f??x?212x?x?1?x?0?.

是??l,l?上的偶函

是??l,l?上的奇函数；

?2?试证明在区间??l,l?上有定义的函数f?x?，总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和；

?3?试将函数f?x??31?x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

f?x??f??x?解：?1?对于??x??，

显然有???x??2f??x??f?x?222???x?，所以??x?是??l,l?上的偶函数。

而对于??x??显然有???x??

?2?由于f?x???(x)?f?x??f??x?，

f??x??f?x?????x?，所以??x?是??l,l?上的奇函数.

f?x??f??x?f?x??f??x?2f?x??f??x?2和?(x)?2f?x??f??x?2?，而由?1?知

分别为??l,l?上的偶函数和奇函数，

这样就证明白所需证之结论.

?3?31?x?f?x??3f?x??f??x?23?3f?x??f??x?2.?

**7.求函数y?1?x?21?x?1?x?231?xx?1(x??1)的反函数，并指出反函2数的定义域。

解：当x??1时，0?y???，由故所求的反函数为y?2x?1得x??2y?1，

2?(x)??x?1(0?x???).

**8.已知f(x)是二次多项式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求f(x).解：设f(x)?ax

2?bx?c,由于f(0)?0，所以c?0,

22而f(x?1)?f(x)?a(x?1)?b(x?1)?(ax?bx)

?2ax?a?b

3

据题意有2ax?a?b?8x?3,故??f(x)?4x2?2a?8,?a?4,解得??a?b?3,?b??1,

?x.

*9.求常数a,b,c，使解:

ax?bx?1?c(x?1)2x?3x(x?1)2?ax?bx?1?c(x?1)2.

?a(x?1)?bx(x?1)?cxx(x?1)22?(a?b)x?(c?2a?b)x?ax(x?1)22比较系数可知有a?b?0,c?2a?b?1,a?3.

解得a?3,b??3,c?4.

**10.根据以下给定的表达式，求fn?x??f?f??f?x???（n重复合）的表达式：?1?f?x??1?x2x2；?2?f?x??x1?x2?x?0?.

解：?1?f?x??1?，

1?x?1x?1???1??2，2?2?221?1x?11x，1???1????2?232?22?22212122n?2时，f?f?x???1?n?3时，f?f?f?x????1???，?

fn?x??f?f??f?x????1?????12n?1?x2n?2?12n?1?x2n.

?2?f?x??x1?x2，

xn?2时，f?f?x???1?x1?x222?x1?2x2，

n?3时，f?f?f?x????用数学归纳法可得fn?x??

1?xx1?3xx2，.

1?nx24

?1?x?0；?0，?0?x?1；***11.设f(x)??x，?2?x，1?x?2．?F(x)?f(1?2x)，

(1)求F(x)的表达式和定义域；(2)画出F(x)的图形.

1?1?2x，??x?0；?2?1??1?解：(1)F(x)??1?2x，1?.0?x?；F(x)的定义域为??，22???1?0，?x?1．?2?

(2)

***12.设f?sin??x?x????cos?17x?，求f?cos?.2?2??解：f?cos??x???x????f?sin??cos17???x???cos17x.2?2??

***13.若f?x?,g?x?,h?x?都是单调增加函数，且对一切x都有f?x??g?x??h?x?，试证明f?f?x???g?g?x???h?h?x??。

证明：?f?x??g?x?，?g?f?x???g?g?x??，

由于对一切x都有f?x??g?x?可知：f?f?x???g?f?x??，?f?f?x???g?g?x??。

同理，g?g?x???h?h?x??，?f?f?x???g?g?x???h?h?x??.

***14.设函数f(x)对任意实数x、y满足关系