基于多分形的中国股市权证定价研究

基于多分形的中国股市权证定价研究

1第三,隐私权改变了市场整体市场表现证书是保险公司和保险公司之间的合同。车主有权以约定的价格购买特定数量的资产（确认证书）或出售（认沽证）。作为一种初级的金融衍生产品,权证的出现对于活跃金融市场、完善金融市场的价格发现功能具有重要意义。目前,权证已成为世界上继股票和债券以外的第三大单一金融交易产品。2005年下半年,为了配合股权分置改革,中国沪深两市正式推出权证业务。对权证进行精确定价不仅可以为金融监管当局提供相关的决策信息支持,而且直接影响很多机构投资者和个人投资者的权证投资策略。由于期权和权证这两种金融工具具有非常类似的风险-收益结构,所以权证的定价和风险管理策略均可以借鉴期权的相关理论。2多分形波动率测度1973年,Black等在一系列严格的假设条件下,通过严密的数学推导和论证,提出了著名的B-S期权定价模型(Black-Scholesoptionpricingmodel)。经典B-S模型拥有逻辑严密、形式优美、涉及变量较少和计算相对简便等优点,因此自提出以来已被理论界和实务界广泛用于期权和权证定价。但是,经典B-S模型的假设条件中存在若干与实际市场运行特征不符之处,其中最突出的就是该模型假定标的资产价格的波动率为常数,而金融价格波动的时变、聚类和杠杆效应等典型特征现已被众多基于GARCH类模型的实证研究所证实。正是出于对常数波动率假设不符合实际的反思,一些学者开始运用基于GARCH类模型的条件波动率,实现对经典B-S模型常数波动率假设的修正。这一思路得到实证研究结论的充分支持,无论是对美国、日本这样的成熟资本市场的研究,还是对中国股市这样的新兴资本市场的研究,目前比较一致的结论是,由修正B-S模型计算的权证(期权)价格与市场价格之间的差异小于经典B-S模型的对应值,这充分说明全面考虑标的股票的价格波动特征有助于实现对权证等金融衍生产品的精确定价。然而,金融复杂性领域的研究表明,除了上面提到的时变、聚类、杠杆效应等典型特征外,金融资产的价格波动还普遍具有另外一种重要的非线性特征,即多分形特征。多分形又被称为多标度分形,是物理学中分形理论的进一步发展。最初的多分形是为了研究自然界中(特别是物理现象中)的非均匀和奇异性现象而提出的,Mandelbrot首次指出了其在定量刻画金融市场复杂波动特征领域的广阔前景。多分形将金融波动的复杂体系分成许多奇异度不同的区域来研究,分层次地了解波动复杂体系的内部精细结构和所富含的信息,从而为更加真实地描述金融市场价格变化的复杂统计特征提供依据。多分形波动特征的发现,对于金融市场波动研究具有极其重要的理论意义。Faruk等指出,多分形现象在金融波动中的普遍存在,表明现有主流波动率研究中的众多统计推论也许并不具有广泛的代表性。需要指出的是,尽管对于金融市场多分形特征的研究取得了很多有价值的成果,但目前绝大多数的相关研究还只停留在实证检验层面,并且由前文分析可以看出,目前从价格波动典型特征的角度出发,对经典B-S模型常数波动率假设的修正并未能将多分形现象这一重要波动特征考虑在内。因此,如何进一步挖掘多分形分析中产生的对价格定量波动特征刻画有益的统计信息,进而为更准确的市场波动率测度、建模以及权证等金融衍生产品定价提供依据,仍然是目前该领域研究中亟待解决的难点问题之一。基于以上认识,本研究通过充分提炼多分形分析中所蕴含的有关金融价格波动的丰富统计信息,提出一种基于多分形奇异指数的市场波动率测度方法,即多分形波动率测度(multifractalvolatility,MFV),并相应构造了其ARMA动力学模型。同时,为了验证这种从金融价格波动多分形特征出发的新的波动率测度方法及其模型的可靠性和实用性,本研究以中国权证市场中的4只认购权证产品为例,实证对比了在B-S模型框架下,MFV测度与常用的GARCH波动率测度和EGARCH波动率测度的权证定价精度差异。3资本市场发育情况截至2008年9月23日,中国市场上共有20只权证产品未被行权,本研究选取其中4只欧式认购权证的日收盘价作为样本。为方便比较,各只权证的样本点都确定为N=125个,各权证的基本情况如表1所示。由表1可以看出,在样本期末,除马钢权证处于浅度实值外,其余3种权证均处于不同程度的虚值状态,这是由于自2007年第4季度开始中国股市一直呈单边下行走势所致。另外,对于各只权证的标的股票,采用其125天的每30分钟高频股价数据计算多分形指标。沪深股票交易所每天共有4个小时(共240分钟)的连续竞价交易时间,因此采用每30分钟记录一个数据的方法,每天可以产生8个高频股价记录(不包括开盘价),故在125个交易日内,每只股票的高频数据总量均为1000个,记为It,d,其中t=1,2,…,N,N=125,d=1,2,…,8。利用相邻两个交易日的收盘价计算标的股票的连续复合日收益率rt,即rt=100(lnIt,8-lnIt-1,8)t=2,3,…,N(1)4模型4.1标准2:常数波动率经典B-S模型基于纯粹的无套利原则建立了一个完全的套期保值头寸,并由此得出一组关于期权价格的偏微分方程,然后通过解偏微分方程得到看涨期权价格和看跌期权价格的解析公式。由于本研究考察的4种权证均为认购权证,故适用经典B-S看涨期权定价公式,即C=StΦ(k)-exp(-r˜ΤX)Φ(k-σ√˜Τ)(2)其中,C为认购权证的B-S模型理论价格;St为第t日的标的股票价格;Φ(·)为标准正态分布的累计概率密度函数;设k=ln(StX)+˜Τ(r+σ22)σ√˜Τ;r为每日无风险利率;˜Τ为权证到期天数;X为权证的执行价格;σ为标的股票的波动率。在后面的研究中,将无风险利率r确定为中国人民银行1年期定期存款利率,r在2008年9月15日前为4.14%,之后为3.87%。由于经典B-S模型中无风险利率r以历法日为单位(按每年365天计算),故在实际计算时,还需将以上两个数字均除以365,得到2008年9月15日前的每日无风险利率r为0.0113%,之后为0.0106%,资料来源于中国人民银行网站。(2)式涉及的所有变量中,只有波动率σ无法直接观测,需进行估计。如前所述,考虑了若干波动典型特征的GARCH类波动率已被证明具有比常数波动率高出很多的权证定价精度,故这里考虑文献中常用的两种GARCH类波动率,即GARCH模型波动率和EGARCH模型波动率。另外,考虑到常数波动率是经典B-S模型的基本假设之一,同时为了验证条件波动率(如GARCH类波动率)是否确实较常数波动率更有助于对中国权证的精确定价,除考虑以上两种GARCH类波动率外,本研究还将考察基于常数波动率的经典B-S模型的权证定价精度。在计算常数波动率时,历史区间长度的选择是一个需要事先确定的问题。Hull曾明确指出,应该将度量波动率的时期确定为应用波动率所对应的时期。由于本研究选定的样本区间包含125天的日数据,故在确定各标的股票的常数波动率时,采用其样本期之前同样长度交易日的平均波动率来计算,即首先计算出各标的股票样本期之前125天中每天日内收益率(基于每30分钟数据)变动的标准差,然后再求这125个标准差的算术平均值,并将其作为未来125天(即样本区间)的波动率参数,记为σCST。4.2金融投资的相关研究GARCH模型假定金融资产的(日)收益率满足如下一般形式,即rt=μt+εt=μt+σtzt(3)其中,μt为收益率的条件均值;εt为误差项;σt为条件波动率;zt为新生量,常被假定为满足zt～NID(0,1)(篇幅所限,本研究只讨论假定新生量zt服从正态分布的情况,当然还可以推广到假定其服从具有厚尾特征的t分布、广义误差分布以及具有有偏厚尾特征的有偏t分布等情况)。同时由于日收益率的条件均值一般很小,故本研究假定其为零。GARCH模型假定日收益的条件波动率σt是可以直接观测到的,文献中最常见的GARCH(1,1)模型假定σt满足如下形式,即σ2t=β0+β1ε2t-1+β2σ2t-1(4)其中,β0为常数,β1为ARCH项系数,β2为GARCH项系数。EGARCH(1,1)模型将金融波动的杠杆效应纳入其分析框架,即lnσ2t=β0+β1zt-1+γ+β2lnσ2t-1(5)其中,γ为非对称杠杆系数。由(4)式和(5)式可以看出,在GARCH模型和EGARCH模型中,第t日的条件波动率σt实际上是利用第(t-1)日的所有可得信息得出的前一步预测值,即σt是以(t-1)日的所有信息为条件的。5基于高频交易数据的多段波动率测量和建模5.1深高速中间市场上市的单次常用价值量表奇异指数α和多分形谱f(α)是描述金融市场多分形特征的一套常用基本语言,因此本研究首先对高频股价序列的α和f(α)做出估计。一般来讲,常用数盒子的方法来计算α和f(α),具体计算过程如下。(1)假设一个交易日的时间长度为标准化的1,则无重复均匀覆盖每天8个高频股价记录的盒子长度可以分别取1、12、14和18。(2)记一天当中的高频股价数据为I(d),d=1,2,…,8。当盒子长度为δ时,假设覆盖每天8个高频股价记录需要m个盒子,每个盒子内有n个记录,则对于第t个交易日,定义在第i个盒子上的股价概率测度为Pi(δ),即Ρi(δ)=n∑j=1Ι(ij)8∑d=1Ι(d)(6)其中,I(ij)为第i个盒子中的第j个指数。根据文献的相关定义,有如下幂律关系存在,即Pi(δ)～δα(7)Nα(δ)～δ-f(α)(8)其中,Nα(δ)为具有相同奇异指数α的长度为δ的盒子个数,而多分形谱f(α)其实就是测度对象(即本研究中4种标的股票的每日高频价格序列)的豪斯道夫维数。需要说明的是,豪斯道夫维数是刻画测度对象局部复杂程度的指标,其精确定义可见魏宇和汪富泉等的深入讨论。(7)式说明不同盒子上的股价概率测度Pi(δ)与盒子长度δ呈指数为α的幂律关系,而(8)式进一步说明了具有相同α的盒子个数与其长度δ呈指数为-f(α)的幂律关系。(3)实际运算中,奇异指数α和多分形谱f(α)可以通过以下的分割函数Sq(δ)计算,即Sq(δ)=m∑i=1Ρqi(δ)(9)其中,Pqi(δ)为对股价概率测度Pi(δ)求q次幂。与Pi(δ)和Nα(δ)类似,Sq(δ)同样满足如下形式的幂律关系,即Sq(δ)～δτ(q)(10)(10)式说明,在特定q次幂下,分割函数Sq(δ)与盒子长度δ呈指数为τ(q)的幂律关系。由上述计算步骤可以看出,当q取正数时,q越大,Sq(δ)将主要反映那些具有大概率测度的盒子的信息;反之,当q取负数时,q越小,Sq(δ)将主要反映那些具有小概率测度的盒子的信息。在实际计算时,q的取值范围以α和f(α)达到饱和值为准。τ(q)的值可以通过求取在双对数坐标轴lnSq(δ)～lnδ上的直线斜率得出,并通过勒让德变换可以得到α=dτ(q)dq(11)f(α)=αq-τ(q)(12)令q=-100,-99,…,0,…,99,100,以深高速2008年4月2日和2008年4月3日连续两个交易日的30分钟高频股价数据为例,运用上述方法计算两天内的价格波动奇异指数α和多分形谱f(α),如图1所示。图1(a)为深高速两天当中的30分钟高频价格走势,图1(b)为两天中奇异指数α和多分形谱f(α)分布。图1中,深高速两天内的f(α)～α分布呈现显著弓形。研究发现,其余3种标的股票各天内的f(α)～α分布形状均与此类似,这一结果是标的股票价格波动具有明显多分形特征的有力佐证。5.2多分形波动率的测算继续观察图1可以发现,不同的价格波动形式和波动幅度对应着不同的奇异指数α分布的离散程度。具体来讲,2008年4月2日,深高速的日内价格波动幅度相对较大,对应的α分布就较为离散;而在2008年4月3日,深高速的日内价格走势比较平稳,价格波动幅度相对较小,这天的奇异指数α的分布也就较为集中。研究表明,其余3种标的股票的每日价格波动也存在类似现象。因此本研究认为,多分形描述中确实蕴含了有关价格波动情况的丰富统计信息,且奇异指数α分布的离散程度就是一种能测度股价日波动率大小的定量指标。用α的标准差Sα表示一天中α分布的离散程度,从而描述出该天价格波动程度的大小。当然,这一分析建立在直观观察的基础上,为什么α分布的离散程度会对价格波动有如此敏感且真实的反映,由(7)式可知α=lnΡi(δ)lnδ(13)因此,在对股价序列的多分形分析中,盒子的概率测度不同,其奇异指数α就不同,而α的标准差Sα也就定量地反映了具有不同概率盒子的测度值的离散程度。Sα越大,不同盒子的概率测度值之间的离散程度就越大,则当天股价走势分布越分散,股价波动的幅度越大,反之亦然。当某天的股价没有任何变化时(如全天一直封在涨停板价格上),不同盒子的概率测度值之间就没有任何差别,因此α的标准差Sα就等于零,说明该天的价格没有波动。由于股票市场不像外汇市场那样24小时连续进行交易,因此能观察和记录到的股价高频数据只能反映有交易时段的市场波动状况,而无法包含无交易时段(即股票市场从前一天收盘到后一天开盘的波动率)的市场波动信息。因此,本研究借鉴Hansen等的方法,在定义波动率测度时考虑某种尺度参数(η),使本研究提出的多分形波动率能够准确刻画全天的市场波动信息。将第t天的Sα表示为Sα,t,本研究正式定义第t天的多分形波动率为MFVt,即MFVt=ηSα,t(14)其中,η=Ν-1Ν∑t=1r2tΝ-1Ν∑t=1Sα,t(15)按照上述定义,分别计算4种标的股票样本区间内的多分形波动率序列。为节省篇幅,图2只报告了深高速的收益率序列rt和多分形波动率序列MFVt。同时为方便比较,图2还包括每日价格波动的方差序列。由图2可以看出,多分形波动率测度不但很好地描述了深高速的股价波动特征,并且在很多时候对于价格大幅波动的反映要比方差更敏感。本研究表明,这一结论同样存在于其余3种标的股票的MFV测度中。可以看出,与GARCH类模型不同的是,基于高频股价数据的多分形波动率测度是不依赖于任何特定模型的,因此一个自然的思路就是可以将标的股票每日的MFV测度值代入经典B-S模型,从而实现对其常数波动率假设的修正,并与基于GARCH波动率测度和EGARCH波动率测度的模型价格进行对比。但是需要指出的是,这种处理方式忽略了一个重要的模型结构问题,即第t日的GARCH波动率和EGARCH波动率都是基于第(t-1)日所有可得信息的预测值,或者称为事前波动;而第t日的MFV测度值是在该股票交易收盘后,运用该日所有已实现的高频股价数据计算得到的,属于事后波动。因此,MFV波动率具有与GARCH波动率和EGARCH波动率完全不同的信息含量,并不能直接比较它们在权证定价准确性方面的实际表现。为了解决上述问题,考虑到GARCH(1,1)模型和EGARCH(1,1)模型在本质上都可以归属于一阶自回归移动平均模型,即ARMA(1,1)模型,故本研究同样运用ARMA(1,1)模型来为MFVt序列建模。考虑到ARMA(1,1)模型对于所建模型序列的平稳性存在严格要求,首先对MFVt序列进行基于ADF、PP等方法的单位根检验,检验结果表明包括深高速在内的4种标的股票的MFVt序列均为平稳序列。MFV-ARMA(1,1)模型表示为(1-φ1L)MFVt=ω+(1+θ1L)εt(16)其中,φ1为一阶自回归项系数,L为滞后算子,ω为常数项,θ1为一阶移动平均系数;同时假定εt～NID(0,σ2ε)。6最优波动率的定价精度为了检验本研究提出的多分形波动率测度及其ARMA模型是否确实有助于描述股票价格的波动特征,首先利用前文中的3种波动模型(即GARCH模型、EGARCH模型以及本研究提出的MFV-ARMA模型)估计出标的股票的条件波动率σt序列(t=1,2,…,N,N=125),分别记为σGCt、σEGCt和σΜFVt;其次,将这些波动率估计值连同常数波动率估计值σCST作为波动参数代入经典B-S模型((2)式),从而计算出基于不同波动率测度的权证模型价格,分别记为CCSΤt、CGCt、CEGCt和CΜFVt;最后,以权证的市场价格Cmktt作为基准,运用损失函数实证对比这4种波动率测度的权证定价精度差异。具体来讲,由哪种波动率测度计算出的权证模型价格与市场价格间的损失函数值最小,则该测度就具有最高的权证定价精度。然而用哪一种损失函数作为衡量定价误差的标准最合理,学术界至今仍未达成共识。Hansen等建议,应该尽可能多地采用不同形式的损失函数来全面判定估计值与真实值之间差异的大小。基于这样的认识,本研究采用文献中常用的6种损失函数作为不同波动率测度定价精度高低的评判标准。以CGCt为例,各损失函数的具体定义如下,即L1:ΜAE=Ν-1Ν∑t=1|Cmktt-CGCt|L2:ΜSE=Ν-1Ν∑t=1(Cmktt-CGCt)2L3:ΗΜAE=Ν-1Ν∑t=1|1-CGCtCmktt|L4:ΗΜSE=Ν-1Ν∑t=1(1-CGCtCmktt)2L5:R2LΟG=Ν-1Ν∑t=1[ln(CmkttCGCt)]2L6:QLΙΚE=Ν-1Ν∑t=1(lnCGCt+CmkttCGCt)这6种损失函数分别标记为Li(i=1,2,3,4,5,6)。L1为平均绝对误差,L2为平均误差平方,它们是此类判断中最常用的两种损失函数形式;L3为经异方差调整的平均误差平方,L4为经异方差调整的平均绝对误差;限于篇幅,L5和L6的具体含义可参见Hansen等的深入讨论。实证结果如表2所示。由表2的损失函数计算结果可以发现。(1)深高CWB1和上港CWB1定价的最优波动率均为MFV测度,即在任一损失函数标准下,基于MFV测度的B-S模型价格与市场价格之间的差异都是最小的。另外,除了深高CWB1的QLIKE标准和上港CWB1的R2LOG标准以外,EGARCH测度在其余各损失函数标准下的定价精度都优于GARCH测度。(2)对于马钢CWB1权证,最优定价波动率参数为EGARCH测度,即在各种损失函数标准下,EGARCH测度都取得了最小的损失函数值。另外,继续观察其余两种波动率的定价精度可以发现,除R2LOG外,MFV测度在其余5种损失函数标准下都取得了优于GARCH测度的定价精度。(3)武钢CWB1权证的最优定价波动率参数为GARCH测度,然后依次为MFV测度和EGARCH测度,这一顺序与马钢CWB1中的情况刚好相反。这也提醒我们,由于标的股票的波动模式不同,需要用不同波动模型对其进行准确刻画,故不同权证所适用的波动率测度