均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答)

PAGE4利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形1.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当_____________时取“=”）若，则(当且仅当____________时取“=”）2.若，则(当且仅当____________时取“=”）若，则(当且仅当_________时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1已知，且满足，则xy的最大值为________。解：因为x>0，y>0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，，故xy的最大值3.变式：若，求的最小值.并求x,y的值解：∵即xy=16当且仅当x=y时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知，求函数的最大值。解：，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。例3.当时，求的最大值。解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。变式：设，求函数的最大值。解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。例4.求的值域。解：当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。练习：1、已知，求函数的最大值.；，求函数技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解：，且，故。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。变式：（1）若且，求的最小值已知且，求的最小值变式:求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。技巧9：消元例1.设为正实数，，则的最小值是_________.技巧10.换元例1.求函数的最大值.练习题：1.若a>0，b>0，a，b的等差中项是eq\f(1,2)，且α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，则α＋β的最小值为()A．2B．3C．4D．52.已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝eq\f(8,x)的图象都过点A，且点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,2n)＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．3.已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为________．4.设M是△ABC内一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，x，y))，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．5.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝eq\f(3x＋1,x＋1)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？6.设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 （）A．0 B．1 C． D．37.已知______.8.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 A． B．4 C． D．59.设为实数，若则的最大值是．。10.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是11.设，则的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）4B.4C.D.11.习题答案：1.∵eq\f(1,2)为a、b的等差中项，∴a＋b＝eq\f(1,2)×2＝1.a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)⇒1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(a＋b,ab)＝1＋eq\f(1,ab)，∵eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∴ab≤eq\f(a＋b2,4)＝eq\f(1,4).∴原式≥1＋4.当且仅当a=b=1/2时，∴α＋β的最小值为5.故选D.2.由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,2n)＝1(m>0，n>0)上，所以1＝eq\f(2,m)＋eq\f(4,2n)≥2eq\r(\f(2,m)·\f(4,2n))，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，当且仅当m=n=4时，故log2m＋log2n的最小值为4.3.[答案]6＋4eq\r(2)[解析]eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋2b＋c,a)＋eq\f(a＋2b＋c,b)＋eq\f(a＋2b＋c,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(2b,c)))＋4≥2eq\r(2)＋2＋2eq\r(2)＋4＝6＋4eq\r(2)，等号在eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)，eq\f(c,a)＝eq\f(a,c)，eq\f(c,b)＝eq\f(2b,c)同时成立时成立．即a＝c＝eq\r(2)b＝1－eq\f(\r(2),2)时等号成立．4.[答案]18[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos30°＝eq\f(\r(3),2)|AB|·|AC|＝2eq\r(3)，∴|AB|·|AC|＝4，由f(M)的定义知，S△ABC＝eq\f(1,2)＋x＋y，又S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|AC|·sin30°＝1，∴x＋y＝eq\f(1,2)(x>0，y>0)∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥2(5＋2eq\r(4))＝18，等号在eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)，即y＝2x＝eq\f(1,3)时成立，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))min＝18.5.[解析](1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为eq\f(32Q＋3,Q)×150%＋eq\f(x,Q)×50%，∴年销售收入为(eq\f(32Q＋3,Q)×150%＋eq\f(x,Q)×50%)·Q＝eq\f(3,2)(32Q＋3)＋eq\f(1,2)x，∴年利润W＝eq\f(3,2)(32Q＋3)＋eq\f(1,2)x－(32Q＋3)－x＝eq\f(1,2)(32Q＋3－x)＝eq\f(－x2＋98x＋35,2x＋1)(x≥0)．(2)令x＋1＝t(t≥1)，则W＝eq\f(－t－12＋98t－1＋35,2t)＝50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)＋\f(32,t))).∵t≥1，∴eq\f(t,2)＋eq\f(32,t)≥2eq\r(\f