数学分析 质点与机械配件引力

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白城师范学院数学系

数学与应用数学专业

数学分析期中论文

051104102

王万全

2023年6月

机械直棒配件引力的探究

摘要

文章中主要应用数学分析中定积分知识对物理问题机械直棒配件引力进行探究。利

用定积分中的微元法求得一质点对一细杆配件的万有引力大小，其大小为一近似值，在验证计算中，增加了数值验证次数，并通过尝试应用试验方法对其近似值加以验证，得出试验数据和计算数值进行比对，分析误差波动与分布得出相对确凿的数值（文章未例举出误差波动曲线图、分布直方图）；随后文章对试验方法进行了详细的介绍，例举出试验特点、试验步骤、试验误差的产生、避免误差的试验做法等；文章最终对数学模型的应用进行了理论上的误差分析，与之前的试验误差分析进行数据上的对比，得出一定的结论。

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正文

问题重述

某机械配件厂将生产一长度为l，线密度为u的均匀细直棒配件，在其中垂线上距离直棒配件a单位处有一质量为m的质点M，利用数学分析的知识，试计算该直棒配件对质点M的引力。符号说明

R为粒子之间的距离；V为配件体积；F为合力；dF为力的微分；a为质点到配件的垂直距离；x为质点到y轴的距离；模型假设

假设在温度不变或者机械配件不受任何温度影响的状况下；在机械配件由高密度物质组成并且配件个部分均匀的状况下；在质点均匀，不含任何种类电子；枯燥的；在配件不受其他任何引力和地球万有引力的状况下；质点M的质量m不能过小，配件的体积不能过大，其比值lim问题分析

m?0；建立理想模型。

m?0Vukm1m2我们以物理学中质点与质点之间的万有引力公式入手，F?（m1与m2是任

r2意两点质量，其大小之差不趋近于无穷大，不带任何电荷；k为引力常量，r为两点之间的有限距离，其大小在其所求问题得数有意义的范围内，也就是其引力大小不过低于研究范围）;我们以数学分析中定积分的理念将长条配件分解为若干个大小质量近似一致位置不同的质点，设其质量为dM，通过求在配件中垂线上的小质点对配件上的每一个通过合理假设的小质点的万有引力的合力，来求得对整个配件的近似万有引力，其数值为合力的极限值。

在分析过程中，我们不能忽略空间电子的存在，空间电子或空间物体（微粒以及其他体积很小的粒子;离子、电子、大气颗粒等对质点和配件的影响；也不能忽略在动态的状况下对所探究问题的探讨，所以数学模型是应用在理想的环境下。模型建立与求解如下图

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ll?ll细杆配件位于x轴的[?,]，质点位于y轴的上半部分的点c处，任取[x,x??x]?[,]2222M'dx。于是它对质当?x很小时可把这一小段细杆配件看作一个质点，其质量为dM?l'点M的引力为

kmdMkmMdF??2?dx

22ra?xl由于细杆配件上各点对质点M的引力方向各不一致，因此不能直接对dF进行积分（不

符合代数可加的条件）。为此，将dF分解到x轴和y轴两个方向上，得

''dFx?dF?sin?,dFy??dF?cos?

由于质点M位于细杆配件的中垂线上，必使水平合力为零，即

l2?lxx2F??dF?0?a2又由cos?a?x2,得垂直方向合力为

l20Fy??l2?l2dFy??2?kmM'a2(a?x2)?32dxll202kmM'a1x???2?laa2?x22kmM'??,22a4a?l负号表示合力方向与y轴方向相反。注：（M'?Vu，V为配件的体积）

模型的检验；

经过代入简单数值以得出一定数值与测量值进行对比，具体计算过程省略，文章将列出具体测量过程；声明测量原理，测量步骤，分析测量误差；

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万有引力常量G的测量方法介绍、试验步骤；

万有引力常数G的确切测量不仅对于弄清引力相互作用的性质十分关键，而且对于理论物理学、地球物理、天文学、宇宙学以及确切测量等都具有重要的理论意义与现实意义。令人惋惜的是，G是历史上最早被认识和测量的物理常数，但它的精度至今仍是最差的。自卡文迪许（Cavendish）1798年采用缜密扭秤取得历史上第一个较为确切的万有引力常数G测量值以来，人们在这一领域内做出了艰苦卓绝的努力，将不断发展的近代科学技术与巧妙的试验设计相结合，力求得到确切可靠的结果。但两百年来G的测量精度提高不到两个数量级。近三十年来，尽管大部分试验者都认为自己的测G试验达到了10-4数量级的相对精度，但事实上他们之间测量结果的吻合度仅达到10-3数量级。因而万有引力常数G的确切测量作为一个热点和难点为各国科学家所关注，并投入大量人力和物力进行确切测量。

目前测G的方法大致可分为地球物理测量、试验室测量和空间测量等三大类。地球物理学方法引力效应明显，但试验的精度比较低。空间测量方法面临着好多新的技术难题，目前仍在摸索之中。试验室内测量是目前获得高精度G值的主要手段，常用工具是缜密扭秤。采用扭秤测量引力常数G有以下方法：直接倾斜法、共振法和周期法等。其中扭秤周期法是采用得最多并且测量结果较为理想的方法之一，其基本原理是当扭秤周边放置吸引质量之后其运动周期要产生相应的变化。试验室内测量引力常数G是一项艰辛而又困难的系统工作，试验精度的提高主要受到以下四个方面因素的制约：引力相互作用十分微弱；引力作用不可屏蔽；质量、长度以及时间的绝对测量；引力常数G的独立性等。

该论文采用扭秤周期法对万有引力常数G进行绝对测量，系统地研究了扭秤的特性和系统误差，同时对试验环境背景进行同步监测，从而确保了试验精度。其创新之处在于采用了长周期、高Q值扭秤并使之在一个恒温、隔振以及外界引力干扰相对较小的环境下工作，从而战胜了扭丝滞弹性和热弹性对测G的影响。具体内容如下：

A．扭秤系统误差研究

从理论和试验两方面弄明白扭秤系统的各种误差来源，对于提高扭秤的试验精度具有重要意义。我们在扭秤系统误差研究方面取得了一系列重要结果：1）扭秤系统的检验质量和吸引质量之间存在最正确配置，采用这种配置可降低源于吸引质量的非线性效应，从而使扭秤可在较大振幅下运行，提高系统的信噪比（Phys.Lett.A,238,1998：337）；2）在扭秤运动的暂态进行测量，而不是在扭秤的平衡态进行测量可获得更高的试验精度（Phys.Lett.A,238,1998：341）；3）理论分析和试验研究说明，当扭秤在10-2弧度下工作时，扭秤悬丝的非线性效应对测G的影响不到1ppm，因而可以忽略不计。这一结论消除了人们对扭丝非线性效应的担忧（Phys.Lett.A,264,1999：112）；4)理论分析和试验研究说明，扭秤系统的品质因数Q值随其振幅的增加而衰减，这一结论对减小滞弹性对测G的影响具有重要的指导意义（Phys.Lett.A,268,2000：255）（5）理论分析和试验研究说明，环境温度的变化极大地影响扭秤悬丝的扭转系数k，对于试