第十章含有耦合电感的电路

第十章含有耦合电感的电路

§10―1互感§10―2含有耦合电感电路的计算§10―3耦合电感功率§10―4变压器原理§10―5理想变压器1学习要点

熟练掌握互感的概念；

具有耦合电感电路的计算方法：①直接列写方程的支路法或回路法。②受控源替代法。③互感消去法。

掌握空心变压器和理想变压器的应用。2重点

互感和互感电压的概念及同名端的含义；

含有互感电路的计算；

空心变压器和理想变压器的电路模型。

耦合电感的同名端及互感电压极性的确定；

含有耦合电感的电路的方程

含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。难点本章与其它章节的联系本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。3耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中：收音机、电视机中的中周线圈(中频变压器)、振荡线圈；整流电源里使用的电源变压器；它们都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法非常必要。电力变压器等；用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源的降压、增流或升压隔离的中频变压器；4中周线圈(中频变压器)、振荡线圈510kVA~300kVA的大功率单相、三相电源变压器。焊接设备使用的主变压器、控制变压器。6PowerTransformerTelecomTransformerAudioTransformer

78§10-1互感1.互感的概念一个电感线圈的情况以上是熟悉的情况。L1N111'i1F11i1产生的磁通为F11。i1与F11的参考方向符合右手螺旋法则，为关联的参考方向。F11穿越自身线圈时，产生的自感磁通链用Y11表示：Y11=L1i1当i1变化时，将产生自感电压u11。-+u11若u11与i1取关联参考方向则u11=dtdY11=L1dtdi19若L1邻近有一线圈L2，载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。

耦合线圈中的总磁通链应该是自感磁通链和互感磁通链的代数和：

Y1=Y11±Y12Y2=Y22±Y21L1N111'i1F11L2N22'2则F11的F21F21称为互感磁通。磁通链为Y21。同理：i2通过L2时也产生磁通F22，i2F22F12F22的一部分F12也穿过L2。两个线圈的情况一部分会穿过L2。

102.互感系数存在磁耦合的两个线圈，当一个线圈的磁通发生变化时，就会在另一个线圈上产生感应电压，称为互感电压。

Y11=L1i1，Y22=L2

i2，Y12=M12i2，Y21=M21

i1M12

和M21称互感系数。简称互感，单位是

H。不管是自感磁通链，还是互感磁通链，都与它的施感电流成正比：这就是互感现象。L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F1211自感系数L总为正值，互感系数

M

值有正有负。L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F12磁通链可表示为：M12=

M21=MM值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此满足：正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。Y1

=

L1i1±Mi2

Y2

=

L2i2±Mi112L1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F123.同名端的概念及其判断方法！通过线圈的绕向、位置和施感电流的参考方向，用右手螺旋法则，就可以判定互感是“增助”还是“削弱”。但实际的互感线圈往往是封闭的，看不出绕向；在电路图中也无法反映绕向。L1L2+-+-u1u2i1i211'22'M13常用同名端表明互感线圈之间的绕向关系。电流分别通入互感线圈时，使磁场相互增强的一对端点称同名端。

无标记的另一对端点也是同名端。L1L2+-+-u1u2i1i211'22'ML1N111'i1F11L2N22'2F21i2F22F12用“•”或“*”或“△”等标记。14判别方法之一1、2是同名端1'、2'也是同名端11'22'L1L2i1i2ML1L2+-+-u1u2i1i211'22'若能看出绕向，则根据线圈电流和磁通方向判定。两个线圈分别施加电流

i1、i2

(均>0)，若产生的磁通方向相同，则i1、i2的流入端为同名端。15两个线圈分别施加电流

i1、i2(均>0)，若产生的磁通方向相同，则i1、i2的流入端为同名端。当有两个以上的电感彼此耦合时，同名端要用不同的符号一对一对标记。11'22'L1L2i1i2i1i2ML1L2+-+-u1u211'22'L1L2L3MM**M知道了同名端，在列写耦合线圈的VCR时，就不必关心线圈的具体绕向了。164.互感电压若两耦合电感线圈的电压、电流都取关联的参考方向，则当电流变化时有：同名端与互感电压的参考极性

若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考

“+”极在L2的同名端。u1=dtdY1=

L1dtdi1±

Mdtdi2u2=dtdY2=

L2dtdi2±

Mdtdi1ML1L2+-+-u1u2i1i211'22'++同样，若i2从L2的同名端流入，则i2在L1中引起的互感电压参考

“+”极在L1的同名端。17练习：列出耦合电感的VCR若施感电流为同频率正弦量，则耦合电感VCR的相量形式为：L1+-u1i1+-u2i2ML2u1=

L1dtdi1

-

Mdtdi2u2=

L2dtdi2

-

Mdtdi1.U1=jwL1.I1-jwM.I2.U2=jwL2.I2-

jwM.I1相量形式：L1+-u1i1+-u2i2ML2u1=

L1dtdi1

+

Mdtdi2u2

=-

L2dtdi2

-

Mdtdi1.U1=jwL1.I1+jwM.I2.U2=

-jwM.I1-

jwL2.I218同名端的判别在实践中占据重要地位。正确连接：无论串还是并，互感应起“增助”作用。L1L2124TrL3110V110V3L12接3(串联)后，可将1、4接在220V的电源上使用。1接3、2接4(并联)后，可用在110V的电源上。而在含有互感线圈(变压器耦合)的振荡电路中，若搞错同名端，则电路不起振。例如：需要顺向串联的两个互感线圈，若错接成反向串联，则使输入阻抗减小，导致电流增大，可能会烧坏线圈。19同名端的判别法之二：实验法直流电压表的正极直流电压表的负极ML1L21234+-u1i1USS+-u2接线图依据：同名端的互感电压极性相同。mV+-设1、3是同名端u2=

Mdtdi1则S闭合后，dtdi1>0故u2>0说明u2的实际极性与参考极性相同。S闭合瞬间，若表针顺时针偏转，则假设正确。否则，1、4是同名端。因此205.耦合因数k一般情况下，一个线圈中的电流所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。漏磁通越少，互感线圈之间的耦合程度越紧密。工程上常用耦合因数k表示其紧密程度：11'22'L1L2i1F21漏磁通F1sF11=F21+F1skdel

Y12

Y11·

Y21

Y22代入Y11=L1i1，Y22=L2i2k=L1L2M≤10≤k的大小与两线圈的结构、相对位置和周围的磁介质有关。k=1为紧耦合。Y12=Mi2，Y21=M

i1

得21§10-2含有耦合电感电路的计算方法1：直接列写方程法与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须考虑互感电压，并注意极性。对互感电路的正弦稳态分析，用相量形式。

方法2：互感消去法(去耦等效法)

通过列写、变换互感电路的VCR方程，可以得到一个无感等效电路。分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。22方法3：受控源替代法重复前面的话：若i2从L2的同名端流互感电压，控制量为相邻电感的同名端确定。11'L1+-u1i1M22'L2+-u2i2.U2.I2jwL1jwM.I1.I211'+-jwL2jwM.I122'+-.U1可以用相量形式的CCVS替代互感电压，从而将互感电压明确地画在电路中。施感电流。被控量为极性根据若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考

“+”极在L2的同名端。的互感电压参考

“+”极在L1的同名端。+-+-入，则i2在L1中引起231.耦合电感的串联(1)L1、L2反向串联时，无感等效电路如下u1=

R1i+

L1dtdi

-

Mdtdi=

R1i+

(L1-

M)dtdiu2=

R2i+

L2dtdi-

Mdtdi=

R2i+

(L2-

M)dtdi互感起“削弱”作用。由KVL(注意互感)得：L1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R224相量形式：.U1=

R1.I+jw

(L1-

M).I=

Z1.I.U=

.U1

+

.U2=

(Z1+

Z2).I=

Z.Iu1=

R1i

+(L1-

M)dtdiu2=

R2i

+(L2-

M)dtdi式中Z1=R1+

jw

(L1-

M).U2=

R2.I+jw

(L2-

M).I=

Z2.I式中Z2=R2+

jw

(L2-

M)Z

=Z1+Z2=(R1+

R2)

+

jw

(L1+L2-2M)由KVL：jw(L1-M)+-+-R1R2+-.U.U1

.U2.Ijw(L2-M)25互感的“削弱”作用类似于“容性”效应。由于耦合因数k≤1，所以(L1+L2-2M)≥0。电路仍呈感性。Z

=Z1+Z2=(R1+

R2)

+jw

(L1+L2-2M)可见，当反向串联时，由于互感的“削弱”作用，使每一条耦合电感支路阻抗(Z1、Z2

)和输入阻抗Z都比无互感时小。(L1-M)和(L2-M)有可能一个为负，但不会都为负。友情提示：jw(L1-M)+-+-R1R2+-.U.U1

.U2.Ijw(L2-M)26(2)顺向串联用同样的方法可得出：Z1=R1+

jw

(L1+M)Z2=R2+

jw

(L2+M)综上：两个串联的耦合电感可以用一个等效电感L来替代：Z

=

(R1+

R2)

+jw(L1+L2+2M)去耦等效电路为jwL1+-+-jwMR1R2+-.I.U.U1.U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+-.U.U1

.U2.Ijw(L2+M)L

=

L1+

L2±2M顺接取“+”，反接取“-”。27解题指导：电路如图，L1=0.01H，L2=0.02HR1=R2=10W，C=20mF，M=0.01H，U=6V。L1+-+-L2R1R2+-.U.I.U1

.U2CMw=1000rad/s等效复阻抗为：Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M)

-wC1求I、U1、U2。...解：耦合线圈为反向串联L1改为L1-ML2改为L2-ML1-M+-+-L2-MR1R2+-.U.I.U1

.U2Cw=1000rad/s去耦等效电路如图。代入数据求得：Z=20-j40=

44.7-63.4oW28.U1=[R1+jw(L1-M)].I=

1.3463.4oV可进一步分析功率、串联谐振等问题。L1+-+-L2R1R2+-.U.I.U1

.U2CMw=1000rad/sZ=20-j40=

44.7-63.4oW设.U=

60oV则：.I=Z.U=60o44.7-63.4o=

0.13463.4oAL1-M+-+-L2-MR1R2+-.U.I.U1

.U2Cw=1000rad/s

.U2=[R2+jw(L2-M)].I=

1.90108.4oV292.耦合电感的并联①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM.U

=jwL1.I1+jwM.I2.U+jwL2.I2=jwM.I1

.I3

=.I1+.I2.U.I1

=jwL1+jwM

.I3

-.I1()=jw(L1-M).I1+jwM

.I3

(1)同侧并联同名端接在同一结点上。把(3)代入(1)得……(1)……(2)………………(3)把(3)代入(2)得.U

=jwM

.I3

-.I2().I2

+jwL2=jwM

.I3

+jw(L2-M).I230.I3jwM.I1jw(L1-M)+-

.U.I2jw(L2-M)②①1'①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM.U

=jw(L1-M).I1+jwM

.I3

.U=jwM

.I3

+jw(L2-M).I2由以上两个方程得到(2)异侧并联去耦等效电路的推演过程从略。①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM异名端连接在同一个结点上。

31对去耦方法归纳如下：使用条件：两个耦合电感必须有一侧联在一起，或经电阻联在一起。L2L1M312**L2-ML1-MM312同正异负L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同减异加另一侧可任意联接。32例：求图示电路的开路电压。

解法1：列方程求解。由于L2中无电流，故L1与L3为反向串联。

所以电流

.US.I1=R

+jw(L1+

L3-2M31)

.UOC=jwM12.I1-jwM23.I1-jwM31.I1+jwL3.I1开路电压为(注意互感电压)

将电流表达式代入得

.UOC=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(M12-M23-M31+L3)

.USL2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R33例：求图示电路的