函数的奇偶性讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第第页课题：函数的奇偶性知识点一：奇偶性定义1.偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；2.奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f（-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；要点诠释:1.奇偶函数图象的特点(1)偶函数图象的特点:如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。(2)奇函数图象的特点:如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于原点对称[f(0)=0]；反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数。典例强化例1.函数f(x)＝，x(0,1)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数例2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝3，则f(－2)等于()A．3B．2C．－2D．－3例3.判断下列函数的奇偶性：例4.设奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________。知识点二：奇偶性的判断要点诠释:1．定义法利用定义判断函数f(x)的奇偶性主要分三步进行：(1)求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(2)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；(3)求f(－x)，可根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。2．图象法其步骤是：(1)画出函数f(x)的图象；(2)判断函数图象关于原点或y轴是否对称；(3)如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数。3．性质法(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；(2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。典例强化例1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1；(4)f(x)＝例2.求证：y＝x2＋的图象关于y轴对称。例3.判断函数f(x)＝的奇偶性例4.函数f(x)，xR，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数。知识巩固练习1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数4．若函数为奇函数，则a＝()A．B．C．D．1课时跟踪训练1．已知函数f(x)是奇函数，x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)＝()A．0B．1C．－1D．±12．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)3．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则()A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(－1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＜f(－5)4．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C．D．55．若函数f(x)是奇函数，则＝______.6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是________．8．若f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为________．9．已知函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．10．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f