专题：统计 讲义 高三数学一轮复习

专题：统计考点一随机抽样1．抽样的必要性在实际中要全面了解总体的情况，往往难以做到，一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究．因为：①一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的．如不可能对所有的灯泡进行试验，记录每一个灯泡的使用寿命；②一些总体具有破坏性．如不可能对所有的炮弹进行试射；③一些调查具有破坏性．如不可能对地里所有的种子是否发芽都挖出来检验；④全面调查（普查）往往要浪费大量的人力、物力和财力．所以常通过从总体中抽取一部分个体，根据对这一部分个体的观察研究结果，再去推断和估计总体情况，即用样本估计总体一一这是统计学的一个基本思想．2．抽样调查（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．3．简单随机抽样（1）概念一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．（2）两种常用的简单随机抽样方法①抽签法（抓阄法）：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．（3）抽签法与随机数法的适用情况①抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．（3）简单随机抽样的特征①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．4．系统抽样（1）概念在抽样中当总体个体数较多时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．（2）步骤一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：①先将总体的个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．②确定分段间隔，对编号进行分段．当（是样本容量）是整数时，取．③在第段用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号．④按照一定的规则抽取样本，通常是将加上间隔得到第个个体编号，再加得到第个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．注意：若不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．另外，系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况．5．分层抽样（1）概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．（2）分层抽样问题类型及解题思路①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量)”提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取()个个体(其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量)．6．三种抽样方法的区别和联系三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：抽样方法共同点特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等从总体中逐个抽取样本容量较小系统抽样将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体容量较大分层抽样将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成考点二用样本估计总体考向1频率分布直方图1．频率、频数、样本容量的计算方法（1）eq\f(频率,组距)×组距＝频率．（2）eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．（3）频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于.2．频率分布直方图中数字特征的计算（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出.（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积.考向2百分位数1.定义一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.2.计算一组个数据的的第百分位数的步骤（1）按从小到大排列原始数据.（2）计算.（3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.3.四分位数我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.考向3样本的数字特征1.众数、中位数、平均数（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．（3）平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：.2.标准差和方差（1）定义①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．（2）数据特征标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．（3）平均数、方差的性质如果数据的平均数为，方差为，那么①一组新数据的平均数为，方差是．②一组新数据的平均数为，方差是．③一组新数据的平均数为，方差是．考点一随机抽样1、总体由编号为，，，，的个个体组成，现从中抽取一个容量为的样本，请以随机数表第行第列开始，向右读取，则选出来的第个个体的编号为（）A． B． C． D．2、某中学高二年级共有学生人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有男生人，则该校高二年级共有女生（）A． B． C． D．3、下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（）①从无限多个个体中抽取个个体作为样本．②盒子里共有个零件，从中选出个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．③从件玩具中一次性抽取件进行质量检验．④某班有名同学，指定个子最高的名同学参加学校组织的篮球赛．A．B．C． D．4、对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）A．B．C．D．5、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．考点二用样本估计总体考向1频率分布直方图1、某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；（2）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．2、从一批零件中抽取个，测量其直径（单位：），将所得数据分为组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（）

A． B． C． D．3、我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.4、，，，，，，，，，的分位数为________，分位数为________，分位数为________．5、调查某校高三年级男生的身高，随机抽取名高三男生，实测身高数据(单位：)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161试估计该校高三年级男生的身高数据的分位数．6、某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表．的分组企业数（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的