专题22反比例函数的图象(原卷版)

专题22反比例函数的图象【知识梳理】知识点01反比例函数的图象和性质

1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.【点石成金】（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；【点石成金】反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.知识点02反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.【点石成金】只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【题型探究】1.在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】D；【解析】解：因为，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，随的增大而增大．因为，所以．因为在第四象限，而，在第二象限，所以．所以．【总结】已知反比例函数，当＞0，＞0时，随的增大而减小，需要强调的是＞0；当＞0，＜0时，随的增大而减小，需要强调的是＜0．这里不能说成当＞0，随的增大而减小．例如函数，当＝－1时，＝－2，当＝1时，＝2，自变量由－1到1，函数值由－2到2，增大了．所以，只能说：当＞0时，在第一象限内，随的增大而减小．2.正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．【总结】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．3.已知的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若点(－2，)、(－1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、、的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且，∴.(2)由(1)得此函数解析式为：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴4.如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．【点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围．【解析】解：(1)设反比例函数的关系式为．由N(－1，－4)，得，∴＝4．∴反比例函数的关系式为．∵点M(2，)在双曲线上，∴．∴点M(2，2)．设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得解得∴一次函数的关系式为．(2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．5.已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．【点拨】由已知的点A、B的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB的面积是6，可知P点到轴的距离为3，因此可求P的横坐标为±3，由于点P在的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【解析】解：如图所示，不妨设点P的坐标为，过P作PC⊥轴于点C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．又∵且，∴，∴，∴．又∵在曲线上，∴当时，；当时，．∴P的坐标为或．【总结】通过三角形面积建立关于的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．6.如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．∴＝6，．∴反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．（2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM＝DM．理由：∵，∴，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即＝4．∴．∴，．∴MB＝MD．【随堂演练】1．已知是反比例函数图象上三点，若，，则下列关系式不正确的是（）A． B． C． D．2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．若点A（x1，1）、B（x2，－2）、C（x3，3）在反比例函数（k是常数）的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）A．x1＞x3＞x2 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x1＞x2 D．x3＞x2＞x14．已知反比例函数的图像经过点，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．若点，，在反比例函数（是常数）的图象上，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．6．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．7．己知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．8．下列说法正确的是（）A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一､二､三象限C．函数，y随x增大而增大 D．函数，y随x增大而减小9．位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO=EF，EOF的面积等于2，则（）A．4 B．2 C．1 D．－210．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A． B． C．2 D．11．如图，已知动点，分别在轴，轴正半轴上，动点在反比例函数图象上，轴，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（）

A．越来越小 B．越来越大C．不变 D．先变大后变小12．已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（）A．a＝1 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜113．已知点在双曲线上，点在直线上，则的值为______．14．如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）交于点A、C，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接BC，若△ABC的面积为2，则k的值为___．15．已知：反比例函数y＝（m﹣3）xm﹣2的图象是双曲线．（1）求m的值；（2）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在双曲线上，试比较y1，y2，y3的大小关系．16．已知在函数中，随的增大而增大，，（1）化简；（2）点在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为，求的值．17．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式．18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）求这两个函数的表达式；（2）求的面积；（3）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【高分突破】1．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．4．（2023·天津·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．5．（2023·山西·统考中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（

）A． B． C． D．6．（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（

）A．2 B． C．1 D．8．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（

）A． B． C． D．9．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（

）A． B． C．或 D．或10．（2023·广西·统考中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．111．（2023·四川成都·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐