湖南省长沙市长沙县某四校联考2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题含答案解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省长沙市长沙县某四校联考2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106 B．8.26×107 C．82.6×106 D．8.26×1083．已知一组数据5，4，3，6，7，则这组数据的平均数与中位数分别为（

）．A．7，5 B．5，7 C．5，6 D．5，54．如图，是的中位线，若，则的长是（

）

A． B． C． D．5．直线过点，若，则与大小关系为（

）．A． B． C． D．不能确定6．已知点与关于原点对称，则a，b的值分别为（

）．A．5， B．5，1 C．，1 D．，7．已知关于的一元二次方程，则该方程根的情况是（

）．A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根 D．无实数根8．如图，已知A（1，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（

）A． B．3 C． D．19．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有个队，根据题意，所列方程为（

）．A． B． C． D．10．已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．因式分解：12．函数的图象不经过第象限．13．已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长．14．二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象对应函数解析式为．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，过点A作AHBC于点H，已知BD=8，S菱形ABCD=24，则AH．16．如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为．

三、解答题17．计算：18．解方程：(1)(2)19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．(1)已知与关于原点O成中心对称，请画出，并写出、、三点的坐标；(2)求出的面积．20．为了解学校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图

(1)本次抽测的男生共有________人，抽测成绩的众数是_________；(2)请你将图（2）的统计图补充完整；(3)求这组数据的平均数和中位数；(4)若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校600名九年级男生中，估计有多少人体能达标？21．已知抛物线的顶点为，且过点．(1)求二次函数解析式；(2)当时，求x的范围；(3)当时，求y的范围．22．随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．(1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；(2)该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？23．在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．

(1)当点E恰好在上时，如图1，求的大小；(2)若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形．24．定义：当取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”．（1）判断：函数是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”．①当，时，此时的恒心值为______；②若三个整数、、的和为12，且，求的最大值与最小值，并求出此时相应的、的值；（3）恒心函数的恒心值为0，且恒成立，求的取值范围．25．已知抛物线与x轴交于，与轴交于点．

(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M为抛物线上一动点，在直线上是否存在点Q，使以点O、B、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】82600000的小数点向左移动7位得到8.26，∴82600000用科学记数法表示为：8.26×107，故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．D【分析】根据平均数、众数、中位数、方差和标准差的定义分别求解即可；【详解】将这组数据重新排列为3、4、5、6、7；所以这组数据的平均数为；中位数为5；故答案为：D【点睛】本题考查了平均数、中位数的定义，解题的关键是掌握它们的定义；平均数是所有数据的和除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数4．B【分析】已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．【详解】解：∵是的中位线，，∴．故选：B．【点睛】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．掌握三角形中位线定理是解题的关键．5．A【分析】直线系数，可知随的增大而减小，时，；【详解】∵直线中，∴函数随的增大而减小，∴当时，；故选：A【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解答此题要熟知一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小6．D【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得a、b的值．【详解】解：点与关于原点对称，，故选：D．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是掌握点的坐标的变化规律．7．B【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可；【详解】∵关于的一元二次方程，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程

，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根，反之也成立8．A【详解】试题解析：∵A点坐标为（1，3），∴OA==，∵线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，∴OA′=OA=．故选A．点睛：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．9．D【分析】设共有个球队参赛，根据每两队之间都进行一场比赛，且共比赛50场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解；【详解】设共有个球队参赛，依题意，得：故选D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10．C【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出、、之间的关系，对照4条结论判断其正确与否，由此即可得出结论；【详解】抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于正半轴，则，对称轴在轴的左侧，则，∴，①错误；抛物线与轴只有一个交点，则，②正确；∵抛物线的顶点坐标为，∴，∴，即，③正确；∵，∴，④正确；故选：C【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键11．【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），故答案为：（a+3）（a-3）．点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．12．三【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】解：∵直线y＝−3x＋5中，k＝−3＜0，b＝5＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故答案为：三．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．13．11或13/13或11【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当腰为3，底边为5或当腰为5，底边为3，再分别计算三角形的周长．【详解】解：，，所以，，当腰为3，底边为5时，三角形的周长；当腰为5，底边为3时，三角形的周长．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的定义和三角形三边的关系．14．【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴把二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位所得图象的顶点坐标为，∴平移后所得图象对应的二次函数解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．15．【解析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24，∴AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴BC＝＝5，∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，∴AH＝，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．16．20【分析】连接，结合正方形的性质可证得，由全等三角形的性质可得，，从而可得为等腰直角三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即垂直平分，易得，设，则，，在中，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案．【详解】解：如下图，连接，

∵四边形为正方形，∴，，∴，又∵，∴在和中，，∴，∴，，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，即垂直平分，∴，设，∵，，∴，，∴在中，由勾股定理可得，即，解得，即．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．17．解：原式=2+1+5-3=5．【详解】分析：分别根据绝对值的意义、非0数的0次幂以及负整数指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可求出结果.详解：原式=2+1+5-3=5.18．(1)(2)【分析】（1）运用因式分解法即可解答；（2）运用配方法即可解答；【详解】（1）∵（2）∵【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法或因式分解法，属于中考常考题型19．(1)图见解析，(2)5【分析】（1）先作点关于原点O成中心对称的对称点，再连接即可；（2）先沿三个顶点围成一个矩形，再用矩形的面积减去三个直角三角形的面积，据此求解即可．【详解】（1）解：先作点关于原点O成中心对称的对称点，依次连接点，得，即为所求，；（2）解：如图，构造矩形，．【点睛】本题考查了作中心对称图形，中心对称与坐标，求网格中三角形的面积，熟练运用这些知识是解题的关键．20．(1)50；5(2)见解析(3)平均数：5.16

中位数：5(4)432人【分析】（1）用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，人数最多的次数即为该组数据的众数；（2）用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为5次的人数；（3）根据图象和中位数、平均数的定义即可解答；（4）用总人数乘以达标率即可得到达标人数；【详解】（1）从条形统计图和扇形统计图可知，达到4次的占总人数的，故总人数为：人，众数为5次；（2）如图：

（3），故中位数在第25和26位，根据图像可知在第三组，故中位数为5；平均数：；（4）∵被调查的50人中有36人达标，∴600名九年级男生中估计有人，故该校600名九年级男生中估计有432人体能达标；【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统图直接反映部分占总体的百分比大小21．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据二次函数的顶点式，结合顶点可得到，再根据二次函数过点求出，即可得到答案；（2）根据二次函数的开口方向，结合与轴的交点可直接得到答案；（3）根据图像求取最大值和最小值即可求解；【详解】（1）设二次函数的解析式为：，根据题意得，∴二次函数的解析式为：，∵二次函数过点，∴，∴，∴二次函数的解析式为；（2）∵二次函数开口向上，且与轴的交点为和；∴当或时，；（3）由图像可知，当时，时取最小值，最小值为-4；当时，取最大值，最大值为，故【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点公式22．(1)(2)应定价为70元【分析】设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，根据该宾馆2021年底及2023年底的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)设降价a元，根据利润=单个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；【详解】（1）设增长率为x，则可列方程为，解得（舍）增长率为（2）设降价a元，则可列方程，化简得，解得，因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元；【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键23．(1)(2)见解析【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数；（2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上，∴，，，∵，∴，∴；（2）证明：∵点F是边中点，∴，∵，∴，∴，如图，连接，

∵将绕点C顺时针旋转得到，∴，，，∴，和为等边三角形，∴，∵点F为的边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．24．（1）是，1；（2）①2；②a最大值为16，此时，；a最小值为4，此时，或，；（3）【分析】（1）根据“恒心函数”的定义即可判断；（2）①根据，得到函数的图象恒在x轴的上方，即可求解；②设，则，，构造关于x的方程，分类讨论，根据根的判别式求解即可；（3）由题意得恒成立，则，且，即，令整理即可求解．【详解】解：（1），∵，∴，∴函数是“恒心函数”，“恒心值”为；（2）①对于“恒心函数”，当，时，，∴函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，即函数的图象恒在x轴的上方，∴，∴“恒心值”为；②设，则，，∴，∴，由题意知a、b、c为整数，则上述方程的解一定是有理数，∴，，∴，当时，，，不是有理数，不符合题意；当时，，，不是