新教材2023-2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程课件湘教版选择性必修第一册

第3章3.1.1椭圆的标准方程课标要求1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程;2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程;3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点1椭圆的定义平面上到两个定点F1,F2的距离之

为常数(大于

)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的

,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作

.

名师点睛椭圆的定义用集合语言叙述为:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}.所有满足条件的点的集合

和

|F1F2|焦点

焦距

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面上到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.(

)(2)椭圆的特殊形式是圆.(

)2.将椭圆定义中“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么?改为“小于|F1F2|”呢?××提示当距离之和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段F1F2.当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.知识点2椭圆的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图象标准方程

=1(a>b>0)

确定焦点的位置=1(a>b>0)焦点坐标(-c,0)(c,0)

a,b,c的关系

(0,-c),(0,c)a2-c2=b2名师点睛1.若椭圆的焦点在x轴上,则标准方程中x2项的分母较大;若椭圆的焦点在y轴上,则标准方程中y2项的分母较大.简记为:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.2.点与椭圆的位置关系:过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)椭圆x2+=1与椭圆y2+=1虽然焦点坐标不同,但是焦距相同.(

)(2)若ab>0,则方程ax2+by2=1是椭圆的方程.(

)2.在椭圆的标准方程中,a>b>c一定成立吗?√×提示不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.重难探究·能力素养全提升探究点一求椭圆的标准方程角度1待定系数法【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:分析(1)可以利用焦点坐标求c,利用定义求a;(2)由于焦点位置已知,因此可以直接设出方程,将点的坐标代入求解;(3)由于焦点不确定,因此可以设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),列式求解.规律方法

待定系数法求椭圆标准方程的步骤

变式训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a+c=10,a-c=4;(2)焦点在x轴上,焦距为4,且椭圆过点(0,2);(3)经过(-2,0),(,-1)两点.解

(1)∵a+c=10,a-c=4,∴a=7,c=3,∴b2=a2-c2=72-32=40.角度2定义法【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.分析

设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.解

两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.变式探究本例题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.解

设动圆圆心为P(x,y),半径为r.由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1;由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.所以点P轨迹是以Q

1,Q

2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.规律方法

定义法求椭圆标准方程的方法若动点的轨迹满足椭圆的定义,可直接根据定义求椭圆的方程.其一般步骤为:(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);(2)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.变式训练2若动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,则动圆圆心M的轨迹方程为

.

解析

圆B的圆心为B(3,0),半径为r1=10.∵(-3-3)2+02=36<100,即点A在圆B内部,∴动圆M在圆B内部.设圆M半径为r2,则|MA|=r2,∴|MB|=r1-r2=10-r2=10-|MA|,即|MA|+|MB|=10.又|AB|=6,∴|MA|+|MB|>|AB|.∴动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,此时a=5,c=3,∴b2=a2-c2=16.探究点二对椭圆标准方程的理解【例3】(1)若方程

=1表示椭圆,则实数m的取值范围是(

)A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)C.(8,25) D.(8,+∞)B即实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是

.

规律方法

根据椭圆的方程求参数取值范围的方法

变式训练3若方程

=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(

)A.(3,+∞) B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞)D解析

因为椭圆的焦点在x轴上,解得a>3或-6<a<-2,故选D.探究点三椭圆的焦点三角形【例4】已知P是椭圆

=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是

.

分析结合∠F1PF2=60°,借助椭圆的定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|后,利用三角形的面积公式求解.又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4.在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即4=16-3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|=4.变式探究(1)本例题条件不变,求点P的纵坐标.解

设点P的纵坐标为yP,(2)本例题其他条件不变,将“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=120°”,求△PF1F2的面积.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4.②规律方法

椭圆的焦点三角形问题(1)椭圆的焦点三角形的概念如图,设P是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点P,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.(2)关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.(3)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L=2a+2c.本节要点归纳1.知识清单:(1)椭圆的定义;(2)椭圆的标准方程.2.方法归纳:待定系数法、定义法求椭圆的标准方程,利用椭圆的定义求解椭圆的焦点三角形问题.3.注意事项:椭圆的定义中不但要求到两个定点F1,F2的距离之和等于常数,而且常数要大于|F1F2|;当焦点位置不确定求椭圆的标准方程时,要分类讨论;求含参数的椭圆方程的焦距时要注意根据焦点的位置分类讨论.学以致用·随堂检测全达标1234561.椭圆

=1的焦点坐标为(

)A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)C所以a2=169,b2=25,椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的焦点坐标为(0,±12).故选C.123456C解析

由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离之和等于2a,1234563.已知椭圆

=1的焦点为F1,F2,P是椭圆上的点,且|PF1|=2,则|PF2|=(

)A.1 B.2

C.3

D.4D解析

由题意得a=3,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF2|=6-2=4.故选D.123456D解析

因为椭圆方程为

=1