新教材2023-2024学年高中数学第4章计数原理4.3组合第2课时组合在实际问题中的应用课件湘教版选择性必修第一册

第4章4.3第2课时组合在实际问题中的应用重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标重难探究·能力素养全提升探究点一组合问题在几何中的应用【例1】平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线.以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形?分析

依题意,根据构成三角形的点的来源,可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准,也可以从反面考虑,任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.解

(方法1)以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类,共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有

=48个不同的三角形;变式探究本例题中的条件不变,可以构成多少个不同的四边形?规律方法

利用组合知识求解平面几何图形中的问题的方法(1)利用组合知识解决几何图形中的问题,要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理.(2)涉及由点线构成的平面几何图形问题,一般是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止重复.常用直接法,也可采用间接法.探究点二分组与分配问题的解法角度1非均匀分组与非均匀分配【例2】

7个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?(1)分成三组,分别为1人、2人、4人;(2)分成A,B,C三组,一组1人,一组2人,一组4人;(3)选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人.(2)由(1)可知,一组1人,一组2人,一组4人的分法有105种.若分成A,B,C三组,一组1人,一组2人,一组4人的分法为

=630种.规律方法

非均匀分组问题的解法所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组.求解时,可直接根据各组的数目,利用组合数及分步乘法计数原理选取.另外,非均匀分配问题的解法可以类比“非均匀分组”方法求解.变式训练1高二某班第1小组共12名同学,现在要调换座位,使其中3人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位不变,共有

种不同的调换方法.

440解析

成这一任务需要两步:第1步,从12人中选3人,共有

=220种选法;第2步,3人都不坐原来的座位有2种情况,所以共有220×2=440种不同的调换方法.角度2均匀分组与均分分配问题【例3】6个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?(1)分成两组,每组都是3人;(2)分成A,B两组,每组都是3人.解

(1)6个人分成两组,每组有3人,属于平均分组,因此不同的分法

规律方法

平均分组与平均分配问题的解法一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有

种.而平均分配问题,可以在平均分组的基础上进行全排列.变式训练2按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.解

(1)先从6本书中取4本,剩余的两本分成两组属于平均分组,因此根据分步乘法计数原理,共有

=15种分法.角度3“相同元素”与“不同元素”的分配问题【例4】(1)某单位安排4名员工到甲、乙、丙三个小区担任志愿者协助体温检测工作,每个小区至少安排1名员工,每名员工都要担任志愿者,则不同的安排方法共有(

)A.18种

B.24种 C.36种

D.72种C解析

根据题意,分2步进行分析:第一步,将4名员工分成3组,其中一组有2人,其他2组各1人,有

=6种分组方法;第二步,将分好的三组安排到甲、乙、丙三个小区担任志愿者,有

=6种情况.由分步乘法计数原理可知有6×6=36种不同的安排方法.故选C.(2)把9个完全相同的口罩分给6名同学,每人至少一个,不同的分法有(

)A.41种

B.56种

C.156种 D.252种B解析

问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列,再分成6堆,每堆至少一个,求其方法数.事实上,只需在9个完全相同的口罩间所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板,即可产生符合要求的方法数.故有

=56种分法.故选B.规律方法

“相同元素”与“不同元素”的分配问题的求解方法(1)对于不同元素的分配问题,可以按需分配(即定人又定数可直接取),也可以按先分组后分配的方法处理,而对于相同元素的分配问题,除利用分类讨论方法外,也可以利用“隔板法”.(2)隔板法:将n个完全相同的元素分成m份(m≤n),每份至少一个的分法种数可按下列方法得到:①将n个元素排成一排,在它们中间共有(n-1)个位置;②在这n-1个位置中插入m-1个挡板,恰好把n个元素分成m份,每份至少一个;③由组合数的定义可知共有

种分法.变式训练3(1)现有4份不同的礼物,若将其全部分给甲、乙两人,要求每人至少分得一份,则不同的分法共有(

)A.10种

B.14种

C.20种

D.28种B解析

依题意,将4份不同的礼物分成(1,3)或(2,2)两组,再分配给甲、乙,(2)某高中准备将10个高校推荐名额分配给高三的6个班级,这6个班级每班至少要给一个名额,则分配方案的种数为(

)A.462 B.126

C.210 D.132B解析

将10个名额分为6份,即从10个名额间产生的9个“空档”中选择5个“空档”插入挡板,且不分顺序,共有

=126种方案.探究点三排列、组合的综合应用【例5】有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.分析

(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生,再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排担任语文课代表的女生,再安排担任“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表.规律方法

解决排列、组合综合问题的方法(1)解排列、组合综合问题的一般思路:“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:①元素是否有序.②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.变式训练4现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习,每个车间至多去2人,有多少种不同的分配方法?本节要点归纳1.方法归纳:直接法与间接法求解几何问题,平均分组与平均分配问题,“隔板法”求解相同元素的分配问题,先选后排求解排列组合综合问题.2.注意事项:利用组合法求解组合问题分类讨论不全面;混淆平均分组与平均分配问题、相同元素的分配问题与不同元素的分配问题的区别;求解排列组合综合问题要根据“排列有序、组合无序”的原则区分排列与组合的关系.学以致用·随堂检测全达标123451.圆上有10个不同的点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为(

)A.720 B.360

C.240 D.120D解析

由题可知,圆上任意三点不共线,则可以确定三角形的个数为

=120.123452.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(

)A.120种

B.90种

C.60种

D.30种C13453.某单位准备组织一场混合双打比赛,现从4名男乒乓球爱好者和3名女乒乓球爱好者中各选2名选手进行一场混合双打比赛,则不同的选择方法有(

)A.48种

B.36种

C.18种

D.12种2B13454.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有

种.

236解析

由题意可知,必有两名同学去同一