新教材适用2023-2024学年高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第2课时集合的表示课件新人教A版必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第2课时集合的表示必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.必备知识•探新知

列举法

知识点

1把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{

}”括起来表示集合的方法．想一想：一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．练一练：不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为_______________.一一列举{1,2,3,4}描述法

知识点

21．设A是一个集合，把集合A中所有具有__________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．2．具体步骤(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．(2)画一条竖线．(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．{1,2,3,4}提醒：用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确．练一练：1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()××√2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是()A．{x|y＝3x＋1}B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1}D．{y＝3x＋1}[解析]

该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，故选C．C关键能力•攻重难

用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；题型探究题型一用列举法表示集合典例1[解析]

(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．[归纳提升]

用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．提醒：花括号“{

}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．

用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．[解析]

(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故直线y＝2x－3与y轴的交点组成的集合是{(0，－3)}．对点练习❶题型二用描述法表示集合

用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．[解析]

(1){x∈R|1<x<10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．典例2[归纳提升]

用描述法表示集合的2个步骤提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．

用描述法表示下列集合：(1)大于6的全体奇数组成的集合；(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；(3)所有的三角形组成的集合．[解析]

(1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于6，故k≥3，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥3}．(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．对点练习❷题型三集合中的方程问题

集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}．(1)若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合；(2)若集合A中有两个元素，求实数k的值组成的集合．[分析]

(1)集合中只有一个元素，说明对应方程的根只有一个，分别寻找使方程只有一个根的条件，注意对方程是否为二次方程进行讨论．(2)寻找使方程产生两个不等实根的条件．典例3[解析]

(1)①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．(2)由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.所以实数k的值组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．[归纳提升]

集合与方程的综合问题的解题思路(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根．(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解．若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．(2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．对点练习❸题型四集合中的新定义问题

当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________.[分析]

准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．典例4{5}[解析]

由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立元素”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．[归纳提升]

解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．

设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q

中元素的个数为()A．4B．5 C．19 D．20[解析]

由题意可以采用列举的方式易得：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，P*Q中元素的个数为19个．故选C．对点练习❹C课堂检测•固双基1．下列集合中恰有2个元素的集合是()A．{x2－x＝0} B．{y|y2－y＝0}C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x}[解析]

选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素．B选项中化简得{0,1}符合题意．C选项是个无限集，D选项也是无限集．B2．(多选题)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A．{－2,0,2,4,6,8,10}B．{0,2,4,6,8,10}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}[解析]

由题意可知，满足题设条件的有选项AD，故选AD.AD3．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2