理学高等代数

题型选择题填空题小计算题大计算题证明题主要内容二次型线性空间线性变换

-矩阵欧几里得空间二次型合同变换化标准形正惯性指数、负惯性指数、符号差实二次型、复二次型的合同的等价条件定理：数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.实对称矩阵A、B合同

的正惯性且二次型指数相等.复对称矩阵A、B合同实二次型正定性定义正定矩阵2)

实对称矩阵A正定

存在可逆矩阵C，使.正定矩阵是可逆矩阵.A的顺序主子式

Pk全大于零.正定实二次型

例用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2

c1+c2解：的矩阵为r3+r1r2－r1c3+c1c2－c1－2r2－2c2c3+2c2r3+2r2作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形令则例、判定下面二次型是否正定.

其顺序主子式

正定.

解：的矩阵解：的矩阵

A的第k阶顺序主子式Pk

（习题7）正定.

例5、证明：为半正定二次型.（习题15）证法一：

对任意一组不全为0的数

,有

故，f

半正定.证法二：考虑二次型则则对线性空间线性空间定义基、坐标过渡矩阵扩基定理直和４个等价条件同构定义数域P上的两个有限维线性空间同构例（1）证明：线性空间P[x]n是n

维的，且（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn-1

为

P[x]n

的一组基．

也为P[x]n的一组基．证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．

∴1，x，x2，…，xn-1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.其次，

可经1，x，x2，…，xn-1线性表出．

注：在基1，x，x2，…，xn-1下的坐标就是此时，（2）1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1是线性无关的．

又对

，按泰勒展开公式有

即,f(x)可经1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1线性表出.∴1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1为P[x]n的一组基．

在基1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n－1下的坐标是

注：此时，下的坐标，其中

解：设

，则有线性方程组解之得，

．

∴ξ在基

下的坐标为

．

例5在线性空间中求向量在基

例1

在Pn中，求由基

到基

过渡矩阵．其中

的过渡矩阵及由基

到基

的并求向量在基下的坐标.

而，∴

解：∵

到基

由基的过渡矩阵为

故，由基

到基

的过渡矩阵为在基下的坐标就是设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为例2在P4中，求由基

到基

的过渡矩阵，其中

解：设

则有

或

，

从而有

∴由基

到基

的过渡矩阵为它扩充为P4的一组基，其中例7

求的维数与一组基，并把解：对以为列向量的矩阵A作初等行变换由B知，为的一个极大故，维＝3，就是的一组基.无关组.则线性无关，从而为P4的一组基.例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，

证：证维数相等.证明：首先，可表成

其次，若则

所以，1，i

为C的一组基，又，所以，故，线性变换线性变换定义线性变换的矩阵相似矩阵特征值、特征向量可对角化定义哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理定理设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化有个线性无关的特征向量.线性变换值域与核定义若当标准形例1.

设线性空间的线性变换为

求在标准基下的矩阵.

解：

例3.设为线性空间V一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

为V的另一组基，且

（1）求在下的矩阵B.（2）求解：（1）由定理4，在基下的矩阵（2）由有于是解：A的特征多项式

例2.设线性变换在基下的矩阵是求的特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）

把代入齐次方程组得

即

它的一个基础解系为：

因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零

因此，属于5的一个线性无关的特征向量为

把代入齐次方程组得

解得它的一个基础解系为：

而属于5的全部特征向量为例3.

设求解：A的特征多项式用去除得练习1：已知为A的一个特征值，则（1）必有一个特征值为

;（2）必有一个特征值为

;（3）A可逆时，必有一个特征值为

;（4）A可逆时，必有一个特征值为

.（5）则必有一个特征值为

.例2.

问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为对角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为

对于特征值2，求出齐次线性方程组

对于特征值－4，求出齐次方程组

的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一个基础解系:

令

则

所以A可对角化.线性变换在此基下的矩阵为

1)求及

2)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，

并求在这组基下的矩阵.并求在这组基下的矩阵.3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，例3、设是线性空间V的一组基，已知解：1）先求设它在下的坐标为故由于有在下的坐标为

解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：

由于的零度为2，所以的秩为2，又由矩阵A，有即为2维的.再求从而

是的一组基.

2）因为

从而有所以，线性无关，就是的一组基.

而

可逆.

从而，线性无关，即为V的一组基.

在基下的矩阵为

3）因为

可逆

.而从而线性无关，即为V的一组基.

在这组基下的矩阵为-矩阵初等变换化标准形三大因子行列式因子不变因子初等因子矩阵相似定理数字矩阵相似与等价.例用初等变换化λ―矩阵为标准形.解：[]即为的标准形.例、求矩阵的不变因子

的非零二级子式为:

解：1）的非零1级子式为:

又

所以，的不变因子为：2）

又

而

的不变因子为

练习：求的不变因子答案:

例1.证明：下列三个矩阵彼此都不相似.证：的不变因子是：

的不变因子是：

的不变因子是：

故的不变因子各不相同，因此不相似。例2、求矩阵A的初等因子解：对作初等变换∴A的初等因子为:练习求初等因子：例1、求矩阵A的若当标准形.

解：

的初等因子为

故A的若当标准形为

欧氏空间欧氏空间定义正交度量矩阵标准正交基定义施密特(Schmidt)正交化正交矩阵正交变换定义分类：旋转、镜面反射实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵欧氏空间正交相似合同最小二乘法(定理7)对总有正交矩阵T，使例3、已知在通常的内积定义下，求解：又通常称为与的距离，记作例1.

把

变成单位正交的向量组.解：令正交化再单位化即为所求．例1．设

求一正交矩阵T使成对角形．解：先求A的特征