相似三角形的判定及性质人教A版选修

1.3相似三角形的判定及性质第一讲相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).复习回顾BACA

C

B

判定两个三角形相似的简单方法(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.BACA

C

B

如何

证明？

1.3相似三角形的判定及性质P11EBACD

1.3相似三角形的判定在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C证明：EBACD

1.3相似三角形的判定在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC证明：EBACD

1.3相似三角形的判定在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC△ADE∽△ABCDE//BC证明：预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.AECBDEBACD

1.3相似三角形的判定CBA已知,如图,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求证:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DE证明:

在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE为

ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延长线于F△ADE∽△ABC

1.3相似三角形的判定及性质预备定理应用AECBD1.如图示，DE∥BC

DB与EC相交于A，求证：△ADE∽△ABC△ADE∽△ABCDE//BC证明：△ADE∽△ABC2．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个C

判定定理1

对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述:两角对应相等,两三角形相似例如图,在△ABC,AB=AC,D是AC边上一点,

BD=BC.求证:BC2=AC

CD分析:

遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似证明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C为公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDA

如图,圆内接△ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.分析:

遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似根据线段所在三角形考虑证△EBD∽△ECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得∠ACE=∠BCE。∵∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB。∴△EBD∽△ECB∴判定定理2

对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似A

B

C

CBADE已知:如图,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,求证:△ABC∽△A

B

C

△ADE≌△A

B

C

?DE//BC△ABC∽△ADECBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE//BCE

证明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E与点E

重合即DE

与DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法

用同一法解题一般有三个步骤①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；

③从而说明已知图形符合结论．例如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求证:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再证明即证只要证明△ABD∽△CBE判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似A

B

C

CBA已知:如图,在△ABC和△A

B

C

中求证:△ABC∽△A’B’C’证明:

在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A

B,过点D作DE//BC,交AC于点E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：△DEF∽△ABCFDEBAC证明:∵线段EF、FD、DE都是△ABC的中位线∴△DEF∽△ABC例2.如图，△ABC中，

DE∥BA，EF∥BC，求证：△EDC∽△AFE.

用一用例题分析解:∵DE∥AB，EF∥BC（已知），∴∠CDE＝∠B＝∠EFA（两直线平行，同位角相等）∠AEF＝∠C.（两直线平行，同位角相等）∴△AFE∽△EDC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）FDEBAC直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.例如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)AD

BC=BE

AC

(2)AH

HD=BH

HE分析:(1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC(2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHDCADB3.找出图中所有的相似三角形巩固练习△ACD∽△CBD∽△ABC你能写出对应边的比例式吗