理学线性代数23

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一、阶行列式的定义2、余子式与代数余子式（定义2.7）为元的代数余子式．例如

例：用余子式与代数余子式表达2，3阶行列式

例：用余子式与代数余子式表达2，3阶行列式例1

计算行列式解按第一行展开，得例2计算下列阶行列式1、对角形行列式；2、下三角行列式；3、次下三角行列式定理2.2

行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证（略）二、行列式的展开定理

三、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.定理2.3

行列式等于它的任一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即行列式的按列展开定理

性质2

行列式的某一列（行）元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论若行列式中有全零行（列），则行列式的值为零．性质3

若将行列式的某一列（行）的所有元素都拆为两项之和，则该行列式可分拆为两个行列式的和，即：性质4

如果行列式有两列（行）完全相同，则此行列式为零.证（略）提示：可采用数学归纳法，并利用展开定理

推论

行列式中如果有两列（行）元素成比例，则此行列式为零．性质5

把行列式的某一列（行）的各元素的倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．性质6

互换行列式的两列（行）,

行列式变号.例如思考：

定理2.4

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即(“异乘变零”)转置性质；拆项性质；初等变换性质；特殊结论。小结

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