2021年中考14 反比例函数-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）(一)

专题14反比例函数

【常识要点】

常识点一反比例函数的根本

反比例函数的概念：一样地，形如y=§（k为常数，k*o）的函数称为反比例函数。

表现形式：y=:还可以写成y=依-1和xy=k的形式

【注重】反比例函数y=:的自变量x#0,故函数图象与x轴、y轴无交点。

反比例函数解析式的特点：

1.等号左边是函数y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k）分母

中含有自变量居且指数为1.

2.比例系数k丰0

3.自变量x的取值为统统非零实数。

4.函数y的取值是统统非零实数。

待定系数法求反比例函数解析式的一样步骤（考点）：

1）设反比例函数的解析式为y=§（k为常数，kW。）

2）把已知的一对x,y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程。

3）解方程求出k值

4）将k值代入所设解析式中。

常识点二反比例函数的图像和性质（根本）

图像的画法：描点法

1.列表（应以0为中间，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数）

2.描点（由小到大的次序）

3.连线（从左到右光滑的曲线）

图像的特点：

1.函数的图像是双曲线.

2.图像的对称性：

图象关于原点对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（,；，为金）在双曲线的另一支上.

图象关于直线y=x或y=-x对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（直-）和小支

常）在双曲线的另一支上.

3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：

|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.山越小，图象的弯曲度越大.

反比例函数的性质：

k的取值图像所在象限函数的增减性

k>0一、三象限在每个象限内，y值随工的增大而减小

k>0二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大

【注重】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别会商，不能一概

而论

常识点三k值的意义（难点）

1）设点P（a,b）是双曲线上y=：随意率性一点，作PAJ_x轴于A点，PBLy轴于B点，则矩形PBOA

的面积是Ik（三角形PAO和三角形PBO的面积都是口）.

2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCLPA的耽误线于C,则有三

角形PQC的面积为21kl.

常识点四用反比例函数解决现实问题

解题步骤：

1.根据题意找等量关系。

2.列出方程，并注明自变量的取值范畴。

3.解方程

4.写方程

【考查题型】

三反比例的定义

•|_考查反比例函数图象

•|_反比例函数的性质1

一y

例函数解析式

反比例函数比例系数侬9几何意义

，|atwaa与一zsgfflBESja|

«|实际问题与反比例函数

考查题型一反比例的定义

【解题思路】谙练掌握反比例函数的性质，懂得函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键.

典例1.（2021・湖南长沙市•中考真题）2021年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，

该方案以三湘四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的瑰丽姿态，该高铁站扶植初期需要运送大量的±

石方，某运输公司承担了运送总量为106根3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度u（单

位：根3/天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）

6

1Q]

A.v=---B.y=IO6C.v=]°6"D-口=1（）6广

【答案解析】A

【提示】由总量=vt,求出v即可.

【详解】解（1）Vvt=106,.,.v=—,故选：A

k

变式1-1.（2021・湖南衡阳市•中考真题）反比例函数丁=一经由点（2,1）,则下列说法错误的是（）

x**

A.k=2B.函数图象分布在第一、三象限

c.当尤＞（）时，y随工的增大而增大D.当x＞（）时，y随x的增大而减小

【答案解析】C

【提示】将点（2,1）代入y=K中求出k值,

再根据反比例函数的性质对四个选项逐-提示即可.

X

【详解】将点（2,1）代入y=A中，解得：k=2,

A.k=2,此说法正确，不吻合题意；

B.k=2>0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不吻合题意；

C.k=2>0且x>0,函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，吻合题意；

D.k=2>0且x>0,函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不吻合题意:

故选：C.

—x+l(x<2)

变式1-2.（2021•四川中考真题）已知函数丁=当函数值为3时，自变量x的值为

--U>2)

一、2D.-2或-士

A.-2C.-2或—-

32

【答案解析】A

【提示】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论.

【详解】解：若x<2,当户3时，-x+l=3,

解得：x=-2；

2

若这2,当产3时，---=3,

x

2

解得：产-一，不合题意舍去；

3

/.x=-2,

故选：A.

Q

变式1・3.(2021•海南中考真题)下列各点中，在反比例函数y=一图象上的是

x

A.(-1,8)B.(一2,4)C.(1,7)D.(2,4)

【答案解析】D

k

【提示】因为反比例函数产一乜k=xy,即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答

x

案.

【详解】解：A、-1X8=-8/8,该点不在函数图象上，故本选项错误；

B、」-2x4=-8#8,U该点不在函数图象上，故本选项错误；

C、□1x7=7邦，□该点不在函数图象上，故本选项错误；

D、2x4=8,□该点在函数图象上，故本选项正确.

故选D.

考查题型二考查反比例函数图象相关常识

【解题思路】掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键.

典例2.（2021•山东威海市•中考真题）一次函数旷=⑪一。与反比例函数=在同一坐标系中

x

的图象大概是（）

【答案解析】D

【提示】

根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解.

【详解】当。>0时，-a<0,则一次函数丁=以一。经由一、三、四象限，反比例函数

丁=幺3。0）经由一、三象限，故排除A,C选项：

X

当“<0时，-«>0,则-次函数>=奴一。经由一、二、四象限，反比例函数y=@（aw0）经由

x

二、四象限，故排除B选项，

故选：D.

变式2-1.（2021•山西中考真题）已知点B（x2,y2）,都在反比例函数y=与

X

（%<0通图像上，且玉<工2<0<当，则%，>2.%的大小关系是（）

A.必>X>为B.%>%>MC.M>%>为D.

【答案解析】A

【提示】起首画出反比例函数y=&(4<0),操纵函数图像的性质得到当王<工，<。<与时，

X

%,%的大小关系.

【详解】解：反比例函数y=K(Z<0),

X

反比例函数图像在第二、四象限，

察看图像：当X1<々<0<%3时,

则%>%>%•

故选A.

变式2-2.(2021•青海中考真题)若ab<0,则正比例函数y=依与反比例函数y=2在同一平面直角

X

坐标系中的大抵图像大概是()

【答案解析】B

【提示】山ab<0,得异号，若图象中得到的a,b异号则成立，否则不成立.

【详解】A.由图象可知：故A错误；

B.由图象可知：a<0,b>0,故B正确；

C.由图象可知：。>0,匕<0,但正比例函数图象未过原点，故C错误；

D.由图象可知：a<0⑦<0,故D错误；

故选:B.

考查题型三反比例函数的性质

典例3.（2021•天津中考真题）若点A（x”-5）,B（x,,2）,C（X3,5）都在反比例函数）的图象上,

X

则再，尤2,刍的大小关系是（）

A.Xj<x2<x3B.x2<x3<x]C.D.x3<x1<x2

【答案解析】c

【提示】因为A,B,C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解玉,々,工3，然后直接对

照大小即可.

【详解】将A,B,C三点分别代入y=3,可求得％=—2,x,=5,^=2,对照其大小可得：

X

Xj<x3<x2.故选：C.

变式3-1.（2021•浙江金华市•中考真题）已知点（一2,a）,（2,b）,（3,c）在函数y=人（女>0）的图

象上，则下列判断对的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案解析】C

k

【提示】根据反比例函数的性质得到函数y=一（%>0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，

x

y随x的增大而减小，则a<0.

【详解】解：・.・左>0,

k

・•・函数y=—（氏>0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随X的增大而减小，

X

Q-2<0<2<3,

,\b>c>0,avO,

：,a<c<b.

故选：C.

变式3-2.（2021•黑龙江大庆市•中考真题）已知正比例函数〉=攵小和反比例函数y=公，在同一向角

X

坐标系下的图象如图所示，其中吻合女「网＞。的是（）

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案解析】B

【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可.

【详解】解：察看图像①可得勺＞0,他＞0,所以K&＞。，①吻合题意;

察看图像②可得匕＜0,&＞°，所以匕&＜0,②不吻合题意；

察看图像③可得匕＞0,&＜0,所以《&＜（）,③不吻合题意；

察看图像④可得匕＜0,&＜0,所以女人＞0，④吻合题意；

综上，其中吻合匕•自＞。的是①④，

故答案为：B.

变式3-3.（2021•辽宁营口市•中考真题）反比例函数（x<0）的图象位于（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案解析】C

【提示】根据问题中的函数解析式和x的取值范畴，可以解答本题.

【详解】解：I•反比例函数y=L（x<0）中，A=l>0,该函数图象在第三象限，

x

故选：C.

变式3-5.（2021•湖南湘西土家族苗族自治州•中考真题）已知正比例函数y的图象与反比例函数的

图象订交于点A（-2,4）,下列说法对的是（）

A.正比例函数必的解析式是y=2x

B.两个函数图象的另一交点坐标为（4,—2）

C.正比例函数必与反比例函数为都随x的增大而增大

D.当xv—2或0vx<2时，丁2VM

【答案解析】D

Q

【提示】根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式X=-2工和%=一，可判断A

x

错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性

质，可判断C错误，D正确，即可选出答案.

【详解】

解：根据正比例函数%的图象与反比例函数为的图象订交于点4-2,4),即可设*=匕尤，％=

X

将A(—2,4)分别代入，求得勺=一2,旬=一8,

Q

即正比例函数％=-2尢，反比例函数月二一，故A错误；

x

另一个交点与A(—2,4)关于原点对称，即(2,—4),故B错误；

Q

正比例函数y=-2x随x的增大而减小，而反比例函数%=--在第二、四象限的每一个象限内y均

x

随x的增大而增大，故C错误；

根据图像性质，当》<—2或0<x<2时，反比例函数%=--均在正比例函数弘=一2%的下方，故

x

D正确.

故选D.

考查题型四求反比例函数解析式

【解题思路】求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可.

典例4.(2021•江苏无锡市•中考真题)反比例函数>与一次函数旷=a％+3的图形有一个交点

X1515

贝心的值为（）

24

A.1B.2C.-D.-

33

【答案解析】C

【提示】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把B点的坐标代入反

比例函数解析式即可求出k的值.

【详解】解：由题意，把B（L,m）代入y=X_x+3,得m=&

215153

二B（；,

23

,点B为反比例函数y="与一次函数y=的交点，

x1515

142

.".k=x•y；.k=—x—=一

233

故选：C.

变式4-1.（2021・湖北孝感市•中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：

A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示.则这个反比例函数的解析式

为（）

,2436,48,64

A.1=——B.IC.I=——D.1=—

RRRR

【答案解析】C

【提示】根据题意,电流与电阻是反比例函数关系,根据图中给1的坐标即可求11)该反比例函数解析

式.

【详解】根据题意,电流与电阻是反比例函数关系,在该函数图象上有一点(6,8),

k

故设反比例函数解析式为1=-,

R

将(6,8)代入函数解析式中,

解得k=48,

48

故1=—

R

故选C.

变式4-2.(2021•上海中考真题)已知反比例函数的图象经由点(2,-4),那么这个反比例函数的解

析式是()

2288

A.y=-B.y=---C.y=-D.y=---

XXxx

【答案解析】D

【提示】设解析式产士代入点（2,-4）求出k即可.

X

【详解】解：设反比例函数解析式为>>=-,

X

将（2,-4）代入，得：-4=：,

解得：仁-8,

Q

所以这个反比例函数解析式为尸-2.

x

故选：D.

考查题型五反比例函数比例系数k的几何意义

k

y~~

【解题思路】一样的，从反比例函数X*为常数，伏））图象上任一点P,向X轴和y轴作垂线

你，以点P及点尸的两个垂足和坐标原点为极点的矩形的面积等于常数网，以点P及点P的一个垂足

如

和坐标原点为极点的三角形的面积等于2.也考查了矩形的性质.

k

典例5.（2021•黑龙江牡丹江市•朝鲜族学校中考真题）如图，A,B是双曲线），=一上的两个点,

x

过点A作AC，x轴，交OB于点D,垂足为C,若AODC的面积为1,D为OB的中点，贝殊的

值为（）

3

A.-B.2C.4D.8

4

【答案解析】D

【提示】过点B作轴，易得ADCOsABEO,得至iJSaBEo=4,即可求解k的值.

【详解】解：如图，过点8作轴，设8（a,。），则E（a,O）,

BELLx轴，Z)C_Lx轴,

ZDCO^ZBEO,

/XDCO^/XBEO,

D为08的中点,

S^DCO_]

S&BEO=4,

BP—a/?=4,解得ab=8,

2

□左的值为8,

故选：D.

变式5-1.（2021•贵州黔东南苗族侗族自治州•中考真题）如图，点/是反比例函数（x>0）上

X

2

的一点，过点4作4cLy轴，垂足为点G力C交反比例函数丁=一的图象于点民点尸是x轴上

X

的动点，则的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案解析】A

【提示】毗邻。力、OB、尸。.因为力轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数上的

几何意义得到S“pc=S\/oc=3,S&BPC=SABOC=\,然后操纵SAPAB=S&APC-SMPA进行计算.

【详解】解：如图,

毗邻04、OB、PC.

・・・力。，》轴，

xx

:・S&APC=S»AOC=万|6|=3,S〉BPC=S&BOC=万|2|=l,

:・S△PAB=S&APC~S&BPC=2・

故选：A.

变式5-2.（2021•内蒙古赤峰市•中考真题）如图，点5在反比例函数y=9（x〉0）的图象上，

X

2

点。在反比例函数y=——（x>0）的图象上，且8C//y轴，AC1BC,垂足为点C,交y

轴于点4则△ABC的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】B

【提示】作BD_LBC交y轴于D,可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形

ACBD的面积，进而由矩形的性质可求AABC的面积.

【详解】作BDJ_BC交y轴于D,

•••8C//y轴，ACLBC,

.••四边形ACBD是矩形，

S轮修ACBD=6+2=8,

AABC的面积为4.

故选B.

变式5-3.（2021•四川内江市•中考真题）如图，点4是反比例函数丫=人图象上的一点，过点/作

x

AC_Lx轴，垂足为点C,。为ZC的中点，若AAO。的面积为1,则/的值为（）

48

A.B.C.3D.4

33

【答案解析】D

【提示】先设出点A的坐标，进而示意出点D的坐标，操纵aADO的面积创立方程求出/m=2,

即可得出结论.

【详解】点A的坐标为（m,2n）

/.2mn-k,

：D为AC的中点，

/.D（m,n）,

•；AC，X轴，△ADO的面积为1,

/.SAADO=；A£)・OC=;==

mn=2,

/.k=2mn=4,

故选：D.

-412

变式54（2021•山东滨州市•中考真题）如图，点A在双曲线y二一上,点B在双曲线y=一上，

xx

且AB//X轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案解析】C

【提示】过点A作AE_Ly轴于点E,操纵反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的

面积为4,四边形BEOC的面积为12,即可得到矩形ABCD的面积

【详解】过点A作AE_Ly轴于点E,

4

・・,点A在双曲线y二一上,

x

・・・四边形AEOD的面积为4,

•.•点B在双曲线丁=一上，且AB//X轴,

x

二四边形BEOC的面积为12,

二矩形ABCD的面积为12-4=8,

故选：Cn

考查题型六反比例函数与一次函数综合

【解题思路】考查二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，谙练掌握二次函数的

有关性质：启齿方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键.

典例6.（2021•新疆中考真题）二次函数丫=2*2+6工+。的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反

比例函数y=£在同一平面直角坐标系中的图像大概是（）

X

【答案解析】D

【提示】根据二次函数图象启齿向上得到a>0,再根据对称轴确定出b,根据与y轴的交点确定出c

>0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解.

【详解】解：I•二次函数图象启齿方向向上，

，a>0,

•••对称轴为直线x=—2>0,

2a

Ab<0,

・・•与y轴的正半轴订交，

Ac>0,

・••尸ax+b的图象经由第一、三象限，且与y轴的负半轴订交，

反比例函数y=£图象在第、三象限，

x

・•・只有D选项的图像吻合题意；

故选：D.

变式6-1.（2021•江苏徐州市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数y=g（x>0）与y=

的图像交于点则代数式的值为（）

ab

【提示】把P（a,b）代入两解析式得出。一。和出>的值，整体代入工-1=2二g即可求解C

abab

【详解】•.•函数y=3（x>0）与y=x-l的图像交于点P（。，b）,

X

4

:,b=—,b=a-L即Q/?=4,b-a=-l,

a

故选：C.

变式6-2.（2021•山东潍坊市•中考真题）如图，函数y=Ax+伙女/0）与y=的图象订交于点

X

VY1

A（—2,3）,3（1,—6）两点，则不等式"+〃>—的解集为（）

x

A.x>-2B.一2cx<0或x>l

B.C.x>\D.x<-2或0vx<l

【答案解析】D

【提示】联合图像,求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范畴即可.

【详解】解：•.•函数〉=日+2仕H0）与〉=一（，〃声0）的图象订交于点A（-2,3）,8（1,-6）两点,

X

，不等式去+〃>'的解集为：xv-2或Ovxvl,

X

故选：D.

2

变式6・3.（2021•宁夏中考真题）如图，函数）=工+1与函数%=一的图象订交于点

x

2.）.若%>%，则x的取值范畴是（）

A.x<-2或0<x<lB.x<-2或x>l

C.-2<x<0或0<尤<1D.—2<x<0或x>l

【答案解析】D

2

【提示】根据图象可知函数y=x+i与函数％=—的图象订交于点M、N,若y>为，即察看直线图

x

象在反比例函数图象之上的X的取值范畴.

【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的X的取值范畴为—2<x<0或x>l,

故本题答案为：一2<x<0或无>1.

故选：D

考查题型七现实问题与反比例函数

典例7.（2021•云南昆明市•中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医天天早上对全校办公室和教

室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19〃”〃；完成2间办公室和1间教室

的药物喷洒要Umin.

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要几时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：zng//）与时间x（单位：加〃）的函数关系如

图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,

两个函数图象的交点为园«）.当教室空气中的药物浓度不高于Img/加时，对人体康健无风

险，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把末了一间教室药物喷洒完成

后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明.

【答案解析】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安然

进入教室，计算说明过程见解析.

【提示】

（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin,再根据题干信息创立二元一

次方程组，然后解方程组即可得；

（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后

操纵待定系数法求出反比例函数的解析式，末了根据反比例函数的解析式求出x=55时，y的值，

与1进行对照即可得.

【详解】

(1)设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin

3x+2y=19x=3

则〈c一解得

2x+y=11y=5

答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；

(2)一间教室的药物喷洒时间为5min,则11个房间需要55min

当x=5时，y=2x5=10

则点A的坐标为A(5,10)

设反比例函数表达式为y=-

X

k

将点A(5,10)代入得：1=10,解得％=50

则反比例函数表达式为y=—

X

当x=55时，y=^<1

故一班学生能安然进入教室.

变式7・L(2021•广西玉林市•中考真题)南宁至玉林高速铁路已于去年开工扶植，玉林辆隧道是全线控

制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限守时间不超过

600天.设天天打通土石方x千立方米.

（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范畴；

（2）因为工程进度的需要，现实平均天天挖掘土石方比原筹划多0.2千立方米，工期比原筹划提前了

10（）天完成，求现实挖掘了几天才能完成首期工程？

【答案解析】（1）y=—（0<x^600）；（2）现实挖掘了500天才能完成首期工程

x

【提示】（1）根据“工作时间=总工作量+天天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；

（2）根据工期比原筹划提前了100天列方程求解即可.

【详解】

解：（1）•••共有土石方总量600千立方米，

600、

/.y-...（0<xW600）；

x

（2）由题意得

600600

------------=1（X）,

xx+0.2

解得X|=l,X2=-g（负值舍去），

经检验X=1是原分式方程的解

1+0.2=12千立方米,

600+1.2=500天.

答：现实挖掘了500天才能完成首期工程.

变式7-2.（2021•浙江台州市•中考真题）小明同学练习某种运算技能，每次练习完成一样数量的问题,

各次练习问题难度相当.当练习次数不超过15次时，完成一次练习所需要的时间y