2021年中考22 等腰三角形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题22等腰三角形

【常识要点】

等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质：

1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高彼此重合。（三线合一）

等腰三角形的判断：

参加一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判断：

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（.4）在直角三角形中，参加一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(增补:

(1)三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的间隔等。

(2)三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个极点的间隔相等。

(3)常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线

【考查题型】

考查题型一等腰三角形的定义

【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系：已知没有明白腰和底边的问题必然要想到两种情

况，分类进行会商，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点十分重要，也是解题的关键.

典例1.(2021・贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题)已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,

则它的周长为()

A.9B.17或22C.17D.22

【答案解析】D

【提示】分类会商腰为4和腰为9,再应用三角形的三边关系进行取舍即可.

【详解】解：分两种情况：

当腰为4时，4+4<9,所以不能构成三角形：

当腰为9时，9+9>4,9-9<4,所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22.

故选：D.

变式1-1.（2021•广西玉林市•中考真题）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35

度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A,B,C三岛组成

一个（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D,等边三角形

【答案解析】A

【提示】先根据方位角的定义分别可求出NCA0=35o,Za4£>=8（）o,NC5E=55。，再根据角的和

差、平行线的性质可得N班C=45°,NA5E=100°,从而可得ZABC=45°,然后根据三角形

的内角和定理可得NC=90°,末了根据等腰向角三角形的定义即可得.

【详解】由方位角的定义得：NC4O=35°,NRW=80°,NCBE=55。

：.ABAC=ZBAD-ZCAD=SO0-35°=45°

由题意得：AD//BE

ZABE=180°—NBAD=180°—80°=100°

ZABC=ZABE-ACBE=10()°-55°=45°

:.ZBAC=ZABC=45°

由三角形的内角和定理得：NC=180°—N84C-NABC=90。

.•.△ABC是等腰直角三角形

即A,B,C三岛组成一个等腰直角三角形

故选：A.

变式1-2.(2021•青海中考真题)等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数分别为

()

A.55°,55°B.70°,40°或70°,55°

C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°

【答案解析】D

【提示】先根据等腰三角形的定义，分70°的内角为顶角和70。的内角为底角两种情况，再分别根

据三角形的内角和定理即可得.

【详解】（1）当70。的内角为这个等腰三角形的顶角

则另外两个内角均为底角，它们的度数为-=55°

2

（2）当70。的内角为这个等腰三角形的底角

则另两个内角一个为底角，一个为顶角

底角为70。，顶角为180。-70。-70。=40。

综上，另外两个内角的度数分别为55。,55。或70°,40°

故选：D.

变式1-3.（2021・湖南张家界市•中考真题）己知等腰三角形的两边长分别为一元二次方程

f—6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）

A.2B.4C.8D.2或4

【答案解析】A

【提示】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的前提分类会商边长，

即可得出答案.

【详解】解：X2—6x+8=0

(x—4)(x—2)=0

解得：x=4或x=2,

当等腰三角形的三边为2,2,4时，不吻合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2,4,4时，吻合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2,

故选：A.

考查题型二根据等边对等角求角度

典例2.（2021•广西中考真题）如图，是□。的弦，4c与」。相切于点4毗邻04OB,若

ZO=130°,则/8/C的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案解析】B

【提示】操纵切线的性质及等腰三角形的性质求出NO4C及/。18即可解决问题.

【详解】解：与。。相切于点4

：.AC±OA,

：.NO/C=90。,

'：OA^OB,

；.NOAB=NOBA.

0=130°,

.-180；NO

•.Z.UAD------------ND,

2

；.NB4c=NOAC-ZOAB=90°-25°=65°.

故选：B.

变式2-1.（2021•甘肃兰州市•中考真题）如图，AB//CD,AD^CD,Nl=65。，则N2的度数

是（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案解析】A

【提示】操纵平行线的性质联合等腰三角形的性质求出NCAD,再根据三角形内角和定理求出N2.

【详解】解：；AB〃CD,.,.Z1=ZACD=65°,

VAD=CD,；.NDCA=NCAD=65。，

/.Z2=180o-65°-65o=50°.故选：A.

变式2-2.(2021•山东临沂市•中考真题)如图，在AABC中，AB^AC,NA=40°,

CD!/AB,则NBC£>=()

A.40°B.50°c.60°D.70°

【答案解析】D

【提示】先根据等腰三角形的性质得到NB的度数，再根据平行线的性质得到/BCD.

【详解】解：：AB=AC,ZA=40°,/.ZB=ZACB=70",

VCD/7AB,.\ZBCD=ZB=70o,故选D.

变式2-3.（2021•浙江温州市•中考真题）如图，在aABC中，ZA=40°,AB=AC,点D在AC边

上，以CB,CD为边作DBCDE,则NE的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案解析】D

【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NC的度数，再根据平行四边形的性质

解答即可.

【详解】解：；N/=40。，AB=AC,

：.ZABC=ZC=10°,

•••四边形是平行四边形，

二Z£=ZC=70°.

故选：D.

考查题型三根据三线合一求解

典例3.(2021•广东深圳市•中考真题)如图，已知力8=ZC,BC=6,尺规作图痕迹可求出5£>=()

H1)

A.2B.3C.4D.5

【答案解析】B

【提示】根据尺规作图的方式步骤判断即可;

【详解】由作图痕迹可知AD为NBAC的角平分线，而AB=AC,

由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3,故选B

变式3-1.（2021•铜仁市•中考真题）已知等边三角形一边上的高为2瓜则它的边长为（）

A.2B.3C.4D.46

【答案解析】C

【提示】根据等边三角形的性质：三线合一，操纵勾股定理可求解即可.

【详解】根据等边三角形的三线合一性质：

/、2

设它的边长为X,可得：±+（2四）2,

解得:x=4,x=-4（舍去），

故选：C.

变式3-2.（2021•四川中考真题）已知：等腰直角三角形/8C的腰长为4,点M在斜边48上，点尸

为该平面内一动点，且满足产。=2,则PM的最小值为（）

A.2B.272-2C.2丘+2D.272

【答案解析】B

【提示】根据等腰直角三角形的性质得到斜边48=4&,由已知前提得到点P在以C为圆心,

PC为半径的圆上，当点尸在斜边N8的中线上时，PAZ的值最小，于是得到结论.

【详解】解：•••等腰直角三角形/8C的腰长为4,

斜边48=4血，

••,点尸为该平面内一动点，且满足PC=2,

...点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，

当点P在斜边相的中线上时，PM的值最小，

•••△4BC是等腰直角三角形，

：.CM=^AB=2yl2,

'：PC=2,

：.PM=CM-CP=2yf2-2,

故选：B.

AB

考查题型四格点中画等腰三角形

典例4在如图所示的网格纸中，有/、8两个格点，试取格点C,使得MBC是等腰三角形，则

如许的格点C的个数是（）

A.4B.6C.8D.10

【答案解析】C

【提示】分"8是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与48极点相对的极点，毗邻即可得

到等腰三角形，是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的间隔相等，N8垂直平分

线上的格点都可以作为点C,然后相加即可得解.

【详解】

解：如图,

分情况会商:

①4B为等腰A/SC的底边时，吻合前提的C点有4个；

②4B为等腰A/BC其中的一条腰时，吻合前提的C点有4个.

故选C.

变式4-1.（2021•山东枣庄市一模）如图，A、B是4/5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边

长都是1,图中使以A、B、C为极点的三角形是等腰三角形的格点C有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案解析】B

【详解.】解：nA、B是4x5网格中的格点，

AB=722+32=V13>

同理可得,AC=BD=AC=V13,

所求三角形有：ABD,口ABC,ABE.如图:

故选B.

变式4-2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知A、B是两格点，若DABC为等腰

三角形，且SAABC=L5,则满足前提的格点C有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案解析】B

【试题解答】试题提示：如下图，1ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种大概，其中满足面积

为1.5的，只有C5和C6.

考查题型五根据等角对等边证明等腰三角形

典例5.要使得AABC是等腰三角形，则需要满足下列前提中的（）

A.ZA=50°,ZB=60°B.ZA=50°,ZB=100°C.NA+NB=90°D.ZA+-ZB=90°

2

【答案解析】D

【提示】根据三角形的内角和是180。联合选项中的前提能够证得有两个角相等即为等腰三角形.

【详解】解：A、DUJ=50o,U5=60°,

□□0180-8=70。，

所以华B丰C,

所以ANBC不是等腰三角形；

B、□QA=50°,□5=100°,

C=I8O°-A-8=30°,

所以A*B中C,

所以zVlBC不是等腰三角形；

C、□/+18=90。不能判断MBC是等腰三角形；

1

D、A+-L3=90°,

2

则2L：J+i!5=180°,

A+8+「C=180°,

□□^=DC,

所以ZU8C是等腰三角形.

故选D.

变式5-1.（2021・无锡市模拟）下列能断定AABC为等腰三角形的是（）

A.ZA=40°,ZB=50°B.ZA=2ZB=70°

C.ZA=40°,ZB=70°D.AB=3,BC=6,周长为14

【答案解析】C

【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算

是否有相等的边即可判断.

【详解】A./C=180O-40o-50o=90。，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误;

B,VZA=2ZB=70°,

ZB=35°,

.♦.NC=75。，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；

C、ZC=180°-400-700=700,有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；

D、VAB=3,BC=6,周长为14,

.\AC=14-6-3=5,没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；

故选C.

变式5-2.如图，在aABC中，AB=AC,BO、CO分别平分/ABC、ZACB,DE经由点O,

且DE〃BC,DE分别交AB、AC于D、E,则图中等腰三角形的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案解析】D

【提示】根据等腰三角形的判断定理，即可得到答案.

【详解】•.•在AABC中，AB=AC,

.二△ABC是等腰三角形，ZABC=DACB,

,:DE〃BC,

，ADE=ZABC,ZAED=ACB,

nADE=ZAED,

.•.△ADE是等腰三角形，

VBO,CO分别平分/ABC、ZACB,

II

AZOBC=-ABC,OCB=-ACB,

22

AZOBC=OCB,

...△OBC是等腰三角形，

：DE〃BC,BO、CO分别平分/ABC、ZACB,

AZDBO=OBC=ZDOB,ECO=OCB=EOC,

/.△DBO,AECO是等腰三角形，

...图中由5个等腰三角形，

故选D.

考查题型六根据等角对等边求边长

典例6.（2021•山东青岛市•中考真题）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF,

所与AC交于点。.若AE=5,BF=3,则A。的长为（）

D'

D

3

A.亚B.-V5C.2旧D.4石

【答案解析】C

【提示】先证明AE=A£再求解AB,AC,操纵轴对称可得答案.

【详解】

解：由对折可得：NAFO=/CFO,AF=CF,

矩形A8CO,

AD//BC,ZB=90°,

ZCFO=ZAEO,

:.ZAFO=ZAEO,

：.AE=AF=5=CF,

-.BF=3,

：.AB=ylAF2-BF2=4,BC=8

:.AC=yjAB2+BC2=716+64=475,

由对折得：。4=。。=,4。=2后.

2

故选C.

变式6-1.（2021•山东济宁市•中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小

时后到达海岛B处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42。方向上，在海岛B的北偏西84。方向

上.则海岛B到灯塔C的间隔是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案解析】C

【提示】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出/C=/CAB=42。，根据等角对等边得出

BC=AB,求出AB即可.

【详解】解：•.•根据题意得：NCBD=84。，NCAB=42。，

,ZC=ZCBD-ZCAB=42°=ZCAB,

BC=AB,

VAB=15海里/时x2时=30海里，

BC=30海里，

即海岛B到灯塔C的间隔是30海里.

故选C.

变式6-2.（2021•河北九年级其他模拟）如图，在团ABCD中，AB=8,BC=5,以点A为圆心，

以随意率性长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q,再分别以尸、。为圆心，以大于;的

长为半径作弧，两弧在/D48内交于点A/,毗邻并耽误交CZ）于点E,则CE的长为（）

A.3B.5C.2D.6.5

【答案解析】A

【提示】根据作图过程可得得AE平分/DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明

ZDAE=ZDEA,证出AD=DE=5,即可得出CE的长.

【详解】解：根据作图的方式得：AE平分NDAB,

ZDAE=ZEAB,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

，DC〃AB,AD=BC=5,

ZDEA=ZEAB,

ZDAE=ZDEA,

；.AD=DE=5,

.".CE=DC-DE=8-5=3；

故选A.

考查题型七等腰三角形性质与判断的综合

典例7.（2021•浙江绍兴市•中考真题）问题：如图，在△/IB。中，BA=BD.在8。的耽误线上取

点及C,作△ZEC,使E/=EC,若NB4E=90。，ZB=45°,求。的度数.

答案：□DACC450

摸索：（1）参加把以上“问题”中的前提“48=45°”去掉，其余前提不变，那么乙D4c的度数

会改变吗？说明来由；

（2）参加把以上“问题”中的前提“NB=45°”去掉，再将“/氏缶=90°”改为“NBAE=

，其余前提不变，求/D4c的度数.

【答案解析】(1)ND4C的度数不会改变，值为45°；(2).

【提示】

(1)根据等腰三角形的性质得到NZEO=2/C,①求得ZDAE=90Q-NBAD=90。-(45。+ZC)

=45°-ZC,②由①，②即可得到结论；

(2)设,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：(1)/D4c的度数不会改变；

■：EA=EC,

：.ZAED=2ZC,U

VZBAE=90°,

AZBAD=[180°-(90°-2ZC)]=45°+NC,

:.NDAE=90°-NBAD=90°-(45°+NC)=45°-ZC,0

由口，口得，ND4C=ND4E+NCAE=45°；

(2)设/,

则(180°-m°)=90°--,ZAEB=\S0°-n-ma,

22

AZDAE=n°-ZBAD=n°-90°

•：EA=EC,

：.ZCAE=—ZAEB=90°-—n°-—m°,

222

:.NDAC=ND4E+NCAE=〃°-90°+—w°+90°-—n°-—m°=—n°.

变式7-1.（2021•江苏淮安市•中考真题）如图，三条笔直公路两两订交，交点分别为A、B、C,

测得ZCAB=30°,ZABC=45°,AC=8千米，求A、B两点间的间隔.（参考数据：

■^2«1.4>>/3®1.7,成果精确到1千米）.

【答案解析】A、8两点间的间隔约为11千米.

【提示】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三

角形的判断与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得.

【详解】

如图，过点C作CD_LAB于点D

•••在Rt^ACD^,NC4D=3O°,AC=8千米

.•.C£）=aAC=/x8=4（千米），A£）=JAC2-C£>2=j82-42=4百（千米）

•••在RsBCD中,/DBC=45。

:.Rt④CD是等腰直角三角形

二80=8=4千米

.•.43=4。+3。=46+4土4乂1.7+4=10.8711（千米）

答：A、5两点间的间隔约为11千米.

变式7-2.（2021•辽宁鞍山市•中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图,

MN为立柱的一部分，灯臂AC,支架BC与立柱MN分别交于48两点，灯臂AC与支架BC

交于点C,已知NM4C=60°,NACB=15°,AC=40cm,求支架BC的长.（成果精确到

1cm,参考数据：V2«1.414,6^1.732,76»2.449）

图2

【答案解析】49cm

【提示】

过点C作CD_LMN,垂足为D,分别解aACD和ABCD,即可得到成果.

【详解】

解：过点C作CD_LMN,垂足为D,

■:ZMAC=60°,ZACB=15°,

AZABC=60o-15°=45°,NACD=30°,

...△BCD是等腰直角三角形，

VAC=40cm,

二在RtzlACD中，AD=-i-AC=20cm,

•"­CD=7402-202=2*cm,

.•.在RtZ\BCD中，BC=y/2CD=20>/6«49cm,

二支架BC的长为49cm.

考查题型八等边三角形的性质

典例8.（2021•福建中考真题）如图,面积为1的等边三角形A8C中，0,E,尸分别为AB.BC,

C4的中点，则△。所的面积是()

C11

A.1C.一D.-

34

【答案解析】D

【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形，即可判断一个的面积是

【详解】・・・。,民/分别为AB,BC,C4的中点，且aABC是等边三角形,

・・・AADF^ADBE^AFEC^ADFE,

♦・.△DEF的面积是一.

4

故选D.

变式8-1.（2021•山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①

中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到

AC=BD=12cm,C,。两点之间的间隔为4cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是

（）

图①图②

A.80^cm2B.4O^cm2C.24乃cm?D-24cm2

【答案解析】B

【提示】先证明△COD是等边三角形,求解OC,。。，操纵摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得

答案.

【详解】解：如图，毗邻C。,

OC=OD,ZCOD=60°,

.,.△coo是等边三角形，

-.CD=4,

.-.OC=OD=4,

•.AC=8。=12,

.•.04=08=16,

所以则图中摆盘的面积瑞形®Y扇形诩=纵及-嗤在

401。%2.

JOUJOU

故选B.

变式8-2.（2021•甘肃天水市•中考真题）如图，等边△。钻的边长为2,则点3的坐标为（）

A.(1,1)B.(1,扬C.(百,1)D.(73,73)

【答案解析】B

［提示］过点B作BH±AOT-H点,山勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标.

【详解】过点5作8〃_LA0于8点,△Q45是等边三角形,

OH=1,BH^Tr-l2=V3-

点3的坐标为(1,V3).

故选B.

考查题型九等边三角形的性质与判断的综合

典例9.(2021•内蒙古中考真题)如图，一个人骑自行车由/地到C地途经8地当他由/地出发时，发

觉他的北偏东45°方向有一电视塔P,他由/地向正北方向骑行了3夜km到达8地，发觉电视塔P在

他北偏东75。方向，然后他由8地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地.

（1）求/地与电视塔P的间隔；

（2）求C地与电视塔P的间隔.

【答案解析】（1）AP=3+3百；（2）6

【提示】

（1）由题意知：［JA=45。，NBC=15°,NBP=75°,过点B作BEAP于点E,求出AE=BE=3；

（2）先操纵三角函数求出BP=6,继而根据方位角求得CBP=60。，联合BC=6,即可证得DBCP是

等边三角形，从而求得答案.

【详解】

（1）由题意知：IZIA=45。，NBC=15°,NBP=75°,

过点B作BEAP于点E,如图,

在Rt-ABE中，ABE=90o-45°=45°,

OAE=BE,

AB=3五,

i：AE=BE=3,

在RtLBEP中，EBP=1800-ABE-NBP=60°,

PE"BEtan60=3右,

AP=AE+PE=3+36；

(2)QBE=3,ZBEP=90°,□EBP=60°,

BE

BP==6,

cos60

又LKCBP=LNBPVNBC=75°-15°=60°,BC=6,

BCP是等边三角形,

CP=BP=6.

变式9-1.（2021•内蒙古鄂尔多斯市•中考真题）（1）（操纵发觉）

如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，AABC的三个极点均在格点上.

①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90。，点B的对应点为点、B\点C的对应点为

点C.毗邻55'；

②在①中所画图形中，ZAB'B=

（2）（问题解决）

如图2,在R/AABC中，BC=1,ZC=90°,耽误CA到D,使CD=1,将斜边AB绕点A顺时

针旋转90。到AE,毗邻DE,求NADE的度数.

（3）（拓展延伸）

如图3,在四边形ABCD中，AE1BC,垂足为E,NBAE=/ADC,BE=CE=1,CD=3,AD

=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子示意）

图1图2图3

【答案解析】（1）①见解析，②45；（2）135。；（3）“=2+9

【提示】

(1)①根据旋转角，旋转方向画出图形即可.

②只要证明^ABB，是等腰直角三角形即可.

(2)如图2,过点E作EHJ_CD交CD的耽误线于H.证明AABC/ZXEAH(AAS)即可解决问题.

(3)如图3中，由AELBC,BE=EC,推出AB=AC,将AABD绕点A逆时针旋转得至SACG,

毗邻DG.则BD=CG,只要证明NGDC=90。，可得CG=’左?+⑺？,由此即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图，△ABC即为所求.

②由作图可知，AABB，是等腰直角三角形,

二/ABB=45。,

故答案为45.

(2)如图2中，过点E作EH_LCD交CD的耽误线于H.

B

图2

・.•NC=NBAE=ZH=90°,

・♦.NB+NCAB=90。，ZCAB+ZEAH=90°,

・・・NB=NEAH,

VAB=AE,

AAABC^AEAH(AAS)

・・・BC=AH,EH=AC,

・・・BC=CD,

，CD=AH,

・・・DH=AC=EH,

.♦.NEDH=45。,

.,.ZADE=135O,

(3)如图③中，VAE1BC,BE=EC,

・・・AB=AC,将AABD绕点A逆时针旋转得到AACG,毗邻DG.则BD=CG