2021年云南省大理中考二模数学试卷（解析版）

2021年云南省大理中考二模数学试卷

一、单选题

1.若分式」一有意义，则（）

a-2

A.a>2B.C.a^2D.a/2且a/0

2.2020年4月7日，中国邮政发行了《众志成城抗击疫情》邮票一套两枚（图1）,

以此纪念在抗击新冠肺炎疫情的过程中，中国人民所展现出的“中国精神、中国力量、

中国担当两枚邮票用一个“众”字型的背景图案巧妙相连，从几何的角度看，这个图

案（图2）（）

图1图2

A.是中心对称图形而不是轴对称图形

B.是轴对称图形而不是中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

3.一个n边形的每个外角都是45。，则这个n边形的内角和是（）

A.1080°B.540°C.2700°D.21600

‘2-x>l①

4.不等式组（x+5中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）

c.f1--->D.I1

-301-301

5.反比例函数y=&的图象过点（一3,5）,则攵的值为（）

x

13

A.15B.——C.-15D.——

155

6.某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试,

其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩

的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4.下列说法正确的是（）

A.甲车间成绩的平均水平高于乙车间

B.甲、乙两车间成绩一样稳定

C.甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀）

D.若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大

7.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,则这个圆锥的侧面积是（）

A.20jtcm2B.20cm2C.40兀cm?D.40cm2

8.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的图象如图所示，现给以下结

论：①abc<0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0；©a-b>m（am+b）（m为实数）；⑤4ac

-b2<0.其中错误结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么-1万元表示.

10.分解因式：3x2-6x+3=._.

11.在疫情泛滥期间，口罩已经变成硬通货，其中，N95口罩尤其火爆，N95口罩对直

径为0.0000003米（即0.3微米）的颗粒物过滤效果会大于等于95%,W95口罩强大的

防护能力在于它的静电纤维吸附能力，00000003用科学记数法表示为.

12.已知：如图，在三角形ABC中，ZACB=90°,CD边AB上的高，BD=4,AD=6,

则8C:AC=____________

BD

13.《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至24

日在云南省昆明市举办.昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、

宽20米的矩形场地上要开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余部分种植草坪，

草坪面积为627平方米.设小道的宽为x米，则可列方程为.

试卷第2页，总6页

D

B

14.观察下列各组勾股数，并寻找规律：

①4,3,5：②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26

请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：.

三、解答题

（2x—1＜、x—21—

15.化简求值：---x+l~其中x=0.

Ix+1）x~+2x+\

16.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形A8CO是一个筝形，其

中=AD=CD.对角线AC,8。相交于点。，0E1A8,OFVCB,

垂足分别是E,F.求证OE=OF.

17.为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对

其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表:

笔画

123456789101112131415

数

字数4810161420243616141191071

请解答下列问题:

（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？

（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图:

分组笔画数X（画）字数（个）

A组i<x<322

3组4<x<6m

C组7<x<976

。组10<x<12n

E组13<x<1518

请确定上表中m、n的值及扇形统计图中组对应扇形圆心角的度数.

（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7~9画（C组）的字数有多少个？

18.某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产

螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺

栓和螺母刚好配套？

19.在一个不透明的盒里装有4张除数字外其他完全相同且标号为0,1,2,3的卡片，

小明从盒里随机取出一张卡片，记下数字为x,小亮从剩下的3张卡片中随机取出一张

卡片，记下数字为y.

（1）用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（X,y）所有可能

出现的结果；

（2）求小明摸出的卡片上的数字x大于小亮摸出的卡片上的数字y的概率.

Q

20.如图，正比例函数>=丘的图像与反比例函数y=、（x>0）的图像交于点

A（a,4）.点8为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C,

交正比例函数的图像于点。.

试卷第4页，总6页

（1）求“的值及正比例函数），=履的表达式；

（2）若8。=10,求△ACO的面积.

21.如图，在矩形ABCD中，AE平分NBAD,交BC于E,过E做EFLAD于F,连

接BF交AE于P,连接PD.

（1）求证：四边形ABEF是正方形；

（2）如果AB=6,AD=8,求tan/ADP的值.

22.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的

利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上

和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单

位：元/件，12Wx<24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：

X（元/件）1213141516

y（件）120011001000900800

（1）求》与x的函数关系式；

（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当X

为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.

23.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其

中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦如图1,已知。。的两条弦AB_LCD,贝IJAB、

CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”.

（概念理解）

（1）若。O的半径为5,一条弦AB=8,则弦AB的“十字弦”CD的最大值为,

最小值为.

(2)如图2,若。0的弦CD恰好是。。的直径，弦AB与CD相交于H,连接AC,

若AC=12,DH=7,CH=9,求证：AB、CD互为“十字弦”；

(问题解决)

(3)如图3,在OO中，半径为旧，弦AB与CD相交于H,AB、CD互为“十字弦”

图3

试卷第6页，总6页

参考答案

1.c

【分析】

根据分式的意义直接求解，即可得出结论.

解：由题意得。一2。0,

，aH2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分式的意义，掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键.

2.B

【分析】

由轴对称图形的定义与中心对称图形的定义可得答案.

解：由轴对称图形的定义与中心对称图形的定义可得：

这个"众''字是轴对称图形，不是中心对称图形，

所以：AC,。不符合题意，8符合题意，

故选：B.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的定义与识别，掌握轴对称图形与中心对称图形的

定义是解题的关键.

3.A

【分析】

根据多边形外角和及内角和可直接进行求解.

解：由一个n边形的每个外角都是45。，可得：

这个多边形的内角和为：(8-2)x180°=1080°,

故选A.

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键.

4.C

答案第1页，总14页

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小

小无解，确定不等式组的解集.

解：解不等式①，得：X<\,

解不等式②，得：X..-3,

则不等式组的解集为-3名犬<1,

将两不等式解集表示在数轴上如下：

』।->

-301

故选：C.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.C

【分析】

让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数

的两个分支所在的象限.

解：••.反比例函数解析式为尸人，

X

・・,反比例函数的图象经过点(-3,5),

/.k=-3x5=-15,

故选C.

【点睛】

此题主要考查了待定系数法求反比例函数，用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于在

它上面的点的横纵坐标的积.

6.D

【分析】

根据平均数、中位数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案.

【详解】

A、甲车间成绩的平均水平和乙车间相同，故本选项错误；

答案第2页，总14页

B、因为甲车间的方差是2.4,乙车间的方差是4.4,所以甲车间成绩比较稳定，故本选项错

误；

C、因为甲车间的中位数是91分，乙车间的中位数是89分，所以甲车间成绩优秀的次数多

于乙车间（成绩不低于90分为优秀），故本选项错误；

D、选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大，正确；

故选D.

【点睛】

此题考查了平均数、中位数以及方差的意义，解题的关键是熟练掌握基本知识.

7.A

【详解】

试题分析：圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2,把相应数值代入即可求解.

【解答】解：圆锥的侧面积=2兀x4x5+2=20兀.

故选A.

【考点】圆锥的计算.

8.A

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根

据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：①由抛物线可知：a>0,c<0,

对称轴x=--<0,

2a

.*.b>0,

.".abc<0,故①正确：

b

②由对称轴可知：----=-1,

2a

・・b--2a,

Vx=l时，y=a+b+c=0,

/.c+3a=0,

/.c+2a=-3a+2a=-a<0,故②正确；

③（1,0）关于x=-1的对称点为（-3,0）,

；・x=-3时，y=9a-3b+c=0,故③正确；

答案第3页，总14页

④当x=-1时，y的最小值为a-b+c,

x=m时，y=am2+bm+c,

am2+bm+c>a-b+c,

即a-bgm(am+b),故④错误；

⑤抛物线与x轴有两个交点，

.,.△>0,

即b2-4ac>0,

**.4ac-b2<0,故⑤正确；

故选A.

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二

次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

9.支出1万元

【分析】

根据题意可得，存入表示正，则支出表示负，即可得到答案.

【详解】

存入3万元记作+3万元，

则-1万元表示支出1万元.

故答案为：支出1万元.

【点睛】

本题考查正数与负数，正确理解相反意义的量是解题的关键.

10.3(x-l)2

【分析】

先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

答案第4页，总14页

【详解】

故答案是：3(x-l)2.

【点睛】

考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

II.3x107

【分析】

用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl07其中l§a|V10,n为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

解：0.0000003用科学记数法表示为：3x107.

故答案为：3x答-7

【点睛】

本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中10a|<lO,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

⑵76:3

【分析】

先证明求出CO,再根据相似性质即可求解.

解：•••44。6=90°,8边A3上的高，

...ZACB=NBDC=ZADC=90°,

:.NB+NBCD=90。,ZB+ZA=90°,

：.NBCD=NA,

：./\BCDs&CkD,

：.BD：CD=CD=AD,

CD2=BDAO=4x6=24，

•••CD=2屈,

BC:AC=CD:AD=2y[6:6=s[6:3-

故答案为：V6:3

答案第5页，总14页

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△BCDsaCAO,求出CO是解题关键.

13.(35-2x)(20-x)=627

【分析】

把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为627

列出方程即可.

解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为(35-2x)米，宽为(20-x)米，

,可列方程为(35-2x)(20-x)=627,

故答案为(35-2x)(20-x)=627.

【点睛】

考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本

题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点.

14.16,63,65

【分析】

根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组

数中的第一个数是2(n+1),第二个是：n(n+2),第三个数是：(n+1)2+l.根据这个

规律即可解答.

【详解】

根据①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26……

可得这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是：n(n+2),第三个数是：(n+1)2+1

因此可求第⑦个数为：16,63,65.

故答案为16,63,65.

【点睛】

此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，观察已知的几组数的规律，是解决本题的

关键.

15,-x2-x；-2-^2

【分析】

原式括号中两边通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到

最简结果，把x的值代入计算即可求出值.

答案第6页，总14页

解：原式=2x—l—厂+].(x+])-

X4~1X-2

M2—x)工+1

=-------•-----

1x-2

=-x(x+l)

=-X2-X

当时，原式=-2-O.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，掌握化简方法是解题关键.

16.证明见解析

【分析】

欲证明OE=OF,只需推知8。平分NA8C,所以通过全等三角形△A3。丝△CB。(SSS)的

对应角相等得到问题就迎刃而解了.

【详解】

证明：；在△ABO和ACB。中，

AB=CB

<AD=CD,

BD=BD

:AABD迫ACBD(SSS),

ZABD=ZCBD,

二8。平分乙48C.

5L'：OEA.AB,OFLCB,

：.OE=OF.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理.理解角平分线上的点到角两边

距离相等是解题关键.

17.(1)8；(2)50,34,A的度数为:39.6°,B的度数为:90°,C的度数为：136.8。，

D的度数为：61.2°,E的度数为：32.4°；(3)1330.

【分析】

(1)根据众数的定义即可求出答案；

答案第7页，总14页

（2）通过原题给出的表格可以得出m、n的值；可以根据A所占的比例为11%可求出总统

计的为200个，然后可以分别求出B组、C组、E组的百分百，从而进一步求出各个部分对

应的角度；

（3）根据统计表格可以得出C组所占的百分数为38%,所以可以进一步求出答案.

【详解】

（1）由题所给的表格得8画的字数最多，所以众数为：8；

（2）由题意可得B组是表示笔画为4,5,6的字数，m所以答案为50；D组是表示笔画为

10,11,12的字数，n所以答案为34；因为A组字数为22个且占11%,,所以总统计的字

数为200,所以B组，C组，E组各占的比例为：25%,38%,9%；

故A组的度数：360oxll%=39.6°；

B组的度数：360°x25%=90°;

C组的度数：360°x38%=136.8°；

D组的度数:360°xl7%=61.2°；

E组的度数：360咏9%=32.4°；

76人

（3）35OOX——=1330（个），

200

故若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7~9画（C组）的字数有1330个.

【点睛】

本题主要考查的是众数以及扇形图的相关知识，熟练掌握相关定理即可.

18.25人生产螺栓，35人生产螺母.

【分析】

首先设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，利用工厂有工人60人，每人每天生产螺栓

14个或螺母20个，进而得出等式求出答案.

x+y=60

解：设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，据题意可得，.cc

14xx2=20y

x-25

解之得,

y=35

答：25人生产螺栓，35人生产螺母刚好配套.

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键.

答案第8页，总14页

19.(1)共有12种可能，列表见解析；(2)4

【分析】

(1)根据题目规则，用树状图画出所有的结果，写出所有的(x,y)结果；

(2)根据(1)得出的所有等情况数和小明摸出的卡片上的数字x大于小亮摸出的卡片上的

数字y的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.

解：(1)画树形图如下：

0123

x/I\/1\/1\/4\

y123023013012

所以共有12个点：(0,1)(0,2),(0,3),(1,0),(1,2),(1,3),(2,

0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)；

(2)根据(1)得，共有12种等情况数，其中小明摸出的卡片上的数字x大于小亮摸出的

卡片上的数字y的有6种，

则小明摸出的卡片上的数字x大于小亮摸出的卡片上的数字y的概率是2.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中

选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求解.

63

20.(1)a-2；y=2x；(2)—

【分析】

(1)己知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后,

点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解

析式可求.

(2)根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b,0),则D点坐标为(b,2b),

根据BD=10,可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解.

【详解】

8

(1)已知反比例函数解析式为y=一，点A(a,4)在反比例函数图象上，将点A坐标代入，解

x

得a=2,故A点坐标为(2,4),又「A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx,

将点A(2,4)代入正比例函数解析式中，解得k=2,则正比例函数解析式为y=2x.

故a=2；y=2x.

答案第9页，总14页

(2)根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b,0),则C点

8

坐标为(b,—)、D点坐标为(b,2b),根据BD=10,则2b=10,解得b=5,故点B的坐标为

b

Q](8、

(5,0),D点坐标为(5,10),C点坐标为(5,-),则在△ACD中，5AACD=-xl10--lx(5-2)

63

"T'

故^ACD的面积为1~.

【点睛】

(1)本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函

数解析式的方法是解答本题的关键.

(2)本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐

标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解.

3

21.(1)证明见解析(2)-

5

【详解】

试题分析：(I)由矩形的性质得出NFAB=NABE=90。，AF〃BE,证出四边形ABEF是矩

形，再证明AB=BE,即可得出四边形ABEF是正方形；

(2)由正方形的性质得出BP=PF,BA_LAD,NPAF=45。,得出AB〃PH,求出DH=AD-AH=5,

在RSPHD中，由三角函数即可得出结果.

试题解析：

(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

AZFAB=ZABE=90°,AF〃BE,

VEFlAD,

/FAB=NABE=/AFE=90。，

•••四边形ABEF是矩形，

,；AE平分NBAD,AF〃BE,

ZFAE=ZBAE=ZAEB,

AB=BE,

，四边形ABEF是正方形；

答案第10页，总14页

(2)解：过点P作PHJ_AD于H,如图所示:

♦••四边形ABEF是正方形，

・・・BP=PF,BA±AD,ZPAF=45°,

AAB//PH,

VAB=6,

・・・AH=PH=3,

VAD=8,

ADH=AD-AH=8-3=5,

在RSPHD中，ZPHD=90°.

PH3

/.tanZADP=

HD5

22.(1)y=-1001+2400；(2)当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时

最大利润是7300元.

【分析】

(1)由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；

(2)设线上和线下月利润总和为w元，则w=400(x-2-10)+y(x-10)=400x-4800+(-100x+24