三角恒等变形专题(含解析)

第讲三角恒等变形时间：年月日刘老师学生签名：兴趣导入学前测试1.函数是A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析因为为奇函数,,所以选A.答案A2.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A.B.C.D.解析:函数的图像关于点中心对称由此易得.故选C答案C3..（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是()解析对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．答案：D方法培养1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：如（1）下列各式中，值为的是A、B、C、D、（答：C）；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知，那么的值为____（答：）；（4）的值是______（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，，，等），如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；（3）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）(2)三角函数名互化(切化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式变形使用（。如（1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：）；(2)设中，，，则此三角形是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如(1)若，化简为_____（答：）；（2）函数的单调递增区间为___________（答：）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）（答：）；（2）求证：；（3）化简：（答：）(6)常值变换主要指“1”的变换（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”，如（1）若，则__（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已知，试用表示的值（答：）。3、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数取得最大值时，的值是______(答：)；（3）如果是奇函数，则= (答：－2)；（4）求值：________(答：32)4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若，且、是方程的两根，则求的值______（答：）；（2）中，，则＝_______（答：）；（3）若且，，求的值（答：）.5、.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.☆专题1：两角和与差的三角函数〖例1〗．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.解：原式======变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.解：(1)A例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．解：∵α－＋＋β＝α＋β＋α∈()β∈(0,)∴α－∈(0,)β＋∈(,π)∴sin(α－)＝cos()＝－∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－)＋()]＝变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.例3.若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜,＜B＜,∴＜A+B＜2 ②由①②知，A+B=.变式训练3：在△ABC中，角A、B、C满足4sin2--cos2B=,求角B的度数.解在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解方法一（复角→单角，从“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二（从“名”入手，异名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)-·［2cos2(+)-1］=.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.解（1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式===1.强化练习1．在△ABC中，若cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，则cosC的值是()A.eq\f(16,65) B.eq\f(56,65) C.eq\f(16,65)或eq\f(56,65) D．－eq\f(16,65)[答案]A[解析]在△ABC中，0<A<π，0<B<π，cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(12,13)，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(16,65)，故选A.2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为()A．1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).3．(2010·吉林省质检)对于函数f(x)＝sinx＋cosx，下列命题中正确的是()A．∀x∈R，f(x)<eq\r(2) B．∃x∈R，f(x)<eq\r(2)C．∀x∈R，f(x)>eq\r(2) D．∃x∈R，f(x)>eq\r(2)[答案]B[解析]∵f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，∴不存在x∈R使f(x)>eq\r(2)且存在x∈R，使f(x)＝eq\r(2)，故A、C、D均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC中，如果sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30° B．45° C．60° D．120°[答案]D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝eq\r(3)sin(150°－A)＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(3,2)sinA，∴tanA＝－eq\r(3)，∴A＝120°.(理)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α、β均为锐角，则β等于()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)[答案]C[解析]∵α、β均为锐角，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(5),5).∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(2),2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,4)，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＋sin2x的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π[答案]B[解析]y＝eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＋sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴周期T＝π.(理)函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为()A．5 B.eq\f(9,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,2)[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝eq\f(3,2)sin2x－2cos2x－2＝eq\f(5,2)sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝eq\f(4,3)，所以f(x)的最大值是eq\f(5,2)－2＝eq\f(1,2).故选C.五、训练辅导〖例6〗．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－2cos2x.(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．[解析](1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x－(cos2x＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cos2x))－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1.由－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1得，－3≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1≤1.可知函数f(x)的值域为[－3,1]．且函数f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解得，kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(π,3)](k∈Z)．六、家庭作业布置：家长签字：_________________（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）附件：堂堂清落地训练（坚持堂堂清，学习很爽心）1．(文)(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝eq\f(3,5)(eq\f(π,2)<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1 B．2 C．－2 D.eq\f(8,25)[答案]C[解析]∵sinβ＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)<β<π，∴cosβ＝－eq\f(4,5)，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－eq\f(4,5)cos(α＋β)＋eq\f(3,5)sin(α＋β)，∴eq\f(2,5)sin(α＋β)＝－eq\f(4,5)cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.2(理)(2010·杭州模拟)已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x，y为锐角，则tan(x－y)＝()A.eq\f(2\r(14),5) B．－eq\f(2\r(14),5)C．±eq\f(2\r(14),5) D．±eq\f(5\r(14),28)[答案]B[解析]两式平方相加得：cos(x－y)＝eq\f(5,9)，∵x、y为锐角，sinx－siny<0，∴x<y，∴sin(x－y)＝－eq\r(1－cos2x－y)＝－eq\f(2\r(14),9)，∴tan(x－y)＝eq\f(sinx－y,cosx－y)＝－eq\f(2\r(14),5).3．已知α、β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)的值为()A．－1 B．1 C.eq\r(3) D．不存在[答案]B[解析]tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，∵eq\f(π,4)－α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是单调增函数，∴β＝eq\f(π,4)－α，∴α＋β＝eq\f(π,4)，∴tan(α＋β)＝taneq\f(π,4)＝1.4．(2010·全国新课标理，9)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．2 D．－2[答案]A[解析]∵cosα＝－eq\f(4,5)且α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)),\f(cos\f(α,2)－sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))))＝eq\f(1＋sinα,cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2