《探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密》教学设计(部级优课)-数学教案

探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角”中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活跃,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的巩固与提高。而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理”、“归纳假设”等研究问题的数学方法。二、教学目标新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程,也要同时体现学生学会学习形成正确价值观的过程。结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理”、“归纳假设”等研究问题的数学方法。4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。三、教学基本流程设计追溯历史，引入追溯历史，引入“三角”善于观察，发现善于观察，发现“秘密”数学文化，拓展视野数学文化，拓展视野课堂小结，升华点睛课堂小结，升华点睛研究历史，升华情感研究历史，升华情感四、教学过程1、追溯历史，引入“三角”师：展示图片--华夏传说中的河图和洛书。伏羲根据河图演绎了八卦，大禹根据洛书划分了九州。由此可以说河图和洛书是我们华夏文化的起源。河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。今天，我们就一起来研究一个特殊的三角数阵。计算当n依次取1，2，3，4，5，6时，展开式中二项式系数的值，并指出该三角数阵就是杨辉三角。课前开展学习活动：了解“杨辉三角”的历史背景、地位、作用。学生畅谈“杨辉三角”，对它有何了解及认识。生：杨辉，字谦光，我国南宋末年的数学家，生平著作甚多，他编著的数学书共有5种21本，他在1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了这个三角数形表，所以后人以他的名字来命名这个表，杨辉在书中还说明了这个方法出于公元11世纪我国北宋数学家贾宪的《释锁算术》。其实，法国数学家帕斯卡也发现了这个表，所以这个表也叫“帕斯卡三角”。但是帕斯卡出生于1623年，从时间的对比上，杨辉三角的发现比欧洲早五百年左右。21世纪以来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”。师：“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民卓越的智慧和才能。杨辉三角在整个数学史中也扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程和无穷级数都谈到了它。那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”的历史背景、地位、作用，弘扬我国古代数学文化.2、善于观察，发现“秘密”合作探究，小组展示成果：（1）对称性；（2）递推性；（3）研究横行规律；（4）研究斜行规律。3、数学文化，拓展视野（1）“杨辉三角”中蕴含着斐波那契数列与斐波那契螺旋线。自然界中有很多的事物都跟这条螺旋曲线有关联，比如说：我们的飓风现象，人的耳朵，海螺，还有多肉植物的花瓣。很多的艺术家和建筑师也将这条螺旋曲线应用于他们的作品中，像我们著名的艺术作品巴特农神庙，还有《蒙娜丽莎》，这些作品中也都能找到斐波那契螺旋线。【设计意图】数学规律其实源于自然，只要我们拥有一双善于观察的眼睛，及时捕捉到它们，我们就可以再次将这些规律应用于我们的生活，为我们带来美的感受。（2）宝塔诗与杨辉三角宝塔诗起源于唐诗,创始人是唐代诗人张南史。现在应当是“千古不朽之作”了。宝塔诗诞生以后,不少诗人相继效仿。据说,白居易也作了这样一首:《诗》，师生共同欣赏。古往今来的宝塔诗,都是底宽顶尖、两侧对称的结构。往往重叠诗题单字为双句,而后总是双句成行,每行每句递增一字;在行行递增的过程中每行双句压韵,两句之间多成对偶(偶尔不是对偶句,也必然一气相通)。这种对称、和谐、坚实的宝塔结构,给人一种文思如泉、层出不穷、生生不息、叠彩成山的美感。仅仅从外形上看,这种富于美感的宝塔诗,就与杨辉三角数表十分相似。【设计意图】让同学们感受到：美其实是想通的，数学文化中的美也可以渗透到其他学科中去。（3）“杨辉三角”与谢尔宾斯基三角形如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出,你能发现什么图形?我们会得到著名的谢尔宾斯基三角形。这种三角形结构强度高、用料省，因此，它在力学中有很高的应用价值，那像大家刚才提到的埃菲尔铁塔的结构与这种三角形的结构就十分的相似。谢尔宾斯基三角形同时还是分形几何的基础，那这幅图片就是我们的分形几何艺术，这种图形在局部和整体上具有某种自相似性，给人以多层次结构，非常的奇异、美丽、超乎我们的想象，这些都是我们数学的杰作。【设计意图】让同学们了解数学规律在其他领域中的应用，并从中感受数学之美。4、课堂小结，升华“点睛”通过学生的总结,回顾本课“杨辉三角”的规律，并初步体会到研究数阵的方法。“杨辉三角”双语视频的展示,使学生更加深入了解到杨辉三角更多