MATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用

摘要二阶系统控制系统按数学模型分类时的一种形式，是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统。二阶系统的解的形式，可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分，P(s)的一般形式为变换算子s的二次三项代数式。代数方程P(s)=0的根，可能出现四种情况。1.两个实根的情况，对应于两个串联的一阶系统。如果两个根都是负值，就为非周期性收敛的稳定情况。2.当a1＝0，a2>0，即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡，是系统不稳定的一种表现。3.当a1<0，a1-4a2<0，即共轭复根有正实部的情况，对应于系统中发生发散型的振荡,也是不稳定的一种表现。4.当a1>0，a1-4a2<0，即共轭复根有负实部的情况，对应于收敛型振荡，且实部和虚部的数值比例对输出过程有很大的影响。一般以阻尼系数ζ来表征，取在0.4~0.8之间为宜。当ζ>0.8后，振荡的作用就不显著，输出的速度也比较慢。而ζ<0.4时，输出量就带有明显的振荡和较大的超调量，衰减也较慢，这也是控制系统中所不希望的。当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。阶跃响应g(t)定义为：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。关键词：二阶系统阶跃响应MATLAB/SimulinkMATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用1训练目的和要求通过对MATLAB仿真软件的语言的学习，学会在MATLAB中解决《电路原理》、《模拟电子技术基础》、《数字电子技术基础》等所学课本上的问题，进一步熟悉并掌握MATLAB在电路、信号与系统、自动控制原理、数字信号处理等中的应用。通过对软件的应用，巩固已学知识。以求达到通过训练能熟练掌握MATLAB的应用，能够深入到实际问题中。要求通过理论分析所要求题目并通过MATLAB仿真比较实验结果。2理论分析计算已知系统的传递函数为，求其阶跃响应。并分析变化时，其阶跃响应的变化情况。本题要求求解一个简单的二阶系统的传递函数的阶跃响应，研究二阶系统的特征参数，当无阻尼自然频率为1时阻尼比对系统动态性能的影响。了解一下基础知识后就可以很自然的解决题目了，我们可以对二阶系统的传递函数进行分析后对无阻尼自然频率赋值1来求解。然后再用MATLAB仿真。二阶系统传递函数标准形式：其中，T—为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期—自然频率（或无阻尼振荡周期） ζ－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的特征方程：特征根为：由题目可知，=1，ζ为一参数，因此对于ζ的取值进行分类说明(1)欠阻尼0<ζ<1将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。（2）临界阻尼ζ=1临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。特点：单调上升，无振荡，无超调，趋近于1，无稳态误差。(3)过阻尼ζ>1 将=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。特点：单调上升，无振荡，过度过程时间长，趋近于1，无稳态误差。（4）无阻尼状态ζ=0系统有一对共轭虚根系统在无阻尼下的单位阶跃响应为：结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性 ζ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ=0时，出现等幅振荡。3MATLAB仿真根据以上理论分析，用MATLAB编程分析。可以用两种方法求解。3.1程序一（用函数来求解）由传递函数与阶跃响应的关系，编程如下：symss %定义系统参数ssymsx %定义阻尼比xilaplace((1/(s^3+2*x*s^2+s))) %拉普拉斯逆变换函数求解ans=1-(cosh(t*(x^2-1)^(1/2))+(x*sinh(t*(x^2-1)^(1/2)))/(x^2-1)^(1/2))/exp(t*x) %带有阻尼比参数的阶跃响应3.2程序二（使用内置函数step）kosai=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)holdonfori=kosainum=1;den=[1,2*i,1];step(num,den)endtitle('TheStepResponseofTwoOrderSystem');holdoff结果如图3-1所示：图3-1二阶系统传递函数阶跃响应4Simulink仿真4.1Simulink简介Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具，是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI)，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。4.2仿真过程1.根据实验选择好仿真元件，设置仿真参数和选择解法器2.运行仿真3.仿真结果分析建立仿真界面如图，输入几个函数进行验证。图4-1ζ=0.1时仿真图图4-2ζ=0.1时仿真结果对ζ取不同值进行验证，结果如下：图4-3ζ=0.3时仿真结果图4-4ζ=1时仿真结果图4-5ζ=0.1时仿真结果分析比较可知以上几种方法结果一样。5小结通过本次强化训练，我基本了解并掌握了MATLAB在电路原理中的应用，知道了如何在MATLAB以及simulink里面处理分析电路方面的问题，对待电子方面知识学习我又了解了一个强有力的仿真工具，对以后也会有很大的帮助。通过本次实验了解到，MATLAB是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。应用到自动控制方面也很方便。通过MATLAB在电路原理二阶系统求阶跃响应的分析实验过程中，不仅了解到了MATLAB强大的功能，而且分析起来非常方便，各种参数调整起来很简洁，生成图像后分析结果一目了然。可以非常直观的比较分析随阻尼比参数变化节约相应的变化，比较可以得出工程中适合的阻尼比范围。对以后的学习以及工程中的可能应用打下了基础。这次实验后，深深的被MATLAB强大的计算分析仿真功能所吸引，决心以后要更加深入的了解并且掌握与运用它来解决实际问题。总之，受益匪浅。参考文献[1]陈晓平等.MATLAB在电路与信号及控制理论中的应用.中国科学技术大学出版社.200