感悟数学思想的魅力

教学案例感悟数学思想的解题魅力--------一节高中数学思想专题复习的导入课[教学目的和意义]在第一轮复习告一段落之际，如何引导学生自主转入下一轮的复习？下一轮的复习重在解决什么问题？为什么要解决这样的问题？本节课设置的意图和目的就在于帮助学生感受到数学思想的解题魅力，认识到数学思想在解题中的重要性，从而顺利地、自然的进入“数学思想”专题的复习。这节课为下一阶段的复习起了铺垫作用，导向作用，承前启后的作用。[教学过程设计]一、引例：在中（）内分别填入一个正整数，并使它们的和最小．分析：这是一道看似小学“奥数”智力题，乍一看好象与我们高中数学知识没有什么联系，但引入字母x，y后将问题转化为“已知x,y为正整数，，试求x+y的最小值”。这样就将这道题转化为一道高二不等式的题了。思考：1.这样一道新的、复杂的问题，通过变形，变成了一道常见的最值问题，折射出解答数学问题的的本质通常就是“变形”。为什么变？怎样变？变成什么样？不这样变行吗？这一思维的蜕变过程体现了重要的数学思想：转化与化归思想。2．常见的变形方式：①繁变简，难变易，抽象变具体。②数变形，形变数，数形常结合。③函数、方程、不等式问题的合理转化。二、老题新看：第一组：①集合A=｛1，2，3｝，则满足A∪B=A的集合B的个数是。②若方程sin2x+cosx=a有解，则实数a的取值范围是。学生在思考中会发现的问题：对①利用并集运算，一一罗列出了集合Ｂ的所有情况,找到了集合Ｂ的个数。显然这种方法是学生对此题只停留在对并集运算的理解上，一旦集合Ａ中元素多了，此法就显然不可取了。对②这样的方程判断是否有解不能直接套用一元二次方程的求根公式和根的判别式，将如何研究？如何帮助学生走出疑惑：对①中A∪B=A准确理解为“Ｂ是Ａ的子集”将此问题转化成了“求集合Ａ＝｛１，２，３｝的子集的个数是”是关键,很容易得知:２３个.对②方程中a＝－sin２x－cosx以函数的面孔出现，把问题转化为:“求函数f（x）＝－sin２x－cosx的值域”.体现了函数与方程思想。[小结]：通过对已知条件的正确理解，把问题转化为己有知识范围内可以解决的问题，这是一种成功的解题思维方式。第二组：（1）设A={x|1<x<3},B是关于x的不等式组的解集，若，求a,b满足的条件。（2）实系数方程x2+ax+b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求的取值范围。学生在思考中常存在的问题：对（1）来说，部分学生可能想通过解出不等式组的解，从而写出集合B,但解不等式组会遇到了麻烦，因为a,b的不确定性，使不等式组的解集需要通过繁杂的讨论才能完成，显然这条路不好走。对（2）来说，部分学生通过解根去转化“大于0且小于1”，“大于1且小于2”，但两根所引发的不等式也较难解。会使问题的解决陷入重重困境。如何帮助学生走出困惑：分析两道题的共性：他们无论是一元二次不等式，还是一元二次方程都与一元二次函数有密切关系。而谈到一元二次函数时，我们多借助于二次函数的图象来研究问题，从而启发学生：“如何用二次函数的图象来反映相对应的不等式的解集或方程的解。”这样的引导会使学生茅塞顿开。令f（x）＝χ2－2χ+a;g（x）=x2－2bx+5。则要满足如图；当且仅当f（1）且f（3）且g（1）且g（3）时满足，得a且b[小结]：“形”的直观性往往会帮助我们找到解“数”的捷径，数与形的有机结合，相辅相成，优化了解题的过程，是一种有效的解题途径。问题引申：图的直观性的确起一个“化抽象为具体”的作用，但就仅仅只靠形的直观感觉判断数的结果是否可靠？第三组：(1)已知的图象有几个交点？（2）已知的图象有几个交点？y=tanxy=sinxy=tanxy=sinx（1）（2）学生的困惑：通过画图：（1）有三个交点，（2）就没有交点教师的解惑：图（1）不正确性在于：平时在一个坐标系内没有把两个函数图象比较，由于画图的不精确产生了一种错误信息,因而造成错误的判断。但事实上,根据方程sinx=tanx（）只能解出x=0一个根,说明只有一个交点.另一方面，在时,sinx<tanx是恒成立的,也能说明在范围内,方程tanx=sinx只有一个解.因此图（1）的错误原因不言而喻:只靠直观的形,有时是不能够得出准确的结论。图（2）是我们常画的草图，其实稍微细心一点,会发现:当时，若x=2则,,x=4则,说明a>1时有可能使和有一个交点（2，2）和（4，4），因此，在a>1的变化当中也一定会出现一个交点的情形。[小结]形帮数以直观，数助形以精确，数形一定要有机结合。对问题（1）的解决也充分体现了函数与方程思想。［课堂小结］：提问：1.这节课对你们有什么启发？2.你们有什么样的收获？3如果这节课是一篇作文，这节课的中心思想是什么？［课后记］这节课在上的过程中，学生的状态一直很好，似乎是这节课的内容极大的激发了他们的求知欲（从学生的眼神中和他们积极思考、积极发言诸多方面的表现上可以看出）。这也许是第一轮复习时间太久，教师在复习的方法上一尘不变，对知识在讲解时的入角点不变，学生有了一定的疲倦感。这节课使学生在审视知识上换了角度，也发现了仅仅完成第一轮的复习是不够的，缺少了数学思想的导向作用，在解决综合的数学问题时，往往会找不着解题的思路。作为教师