2024届一轮复习人教A版 　均值不等式及其应用 课件（42张）

第4节均值不等式及其应用[课程标准要求]2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.必备知识·课前回顾回顾教材,夯实四基1.算术平均值与几何平均值给定两个正数a,b,数

称为a,b的算术平均值;数

称为a,b的几何平均值.两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.a>0,b>0(1)均值不等式成立的条件:

.(2)等号成立的条件:当且仅当

.a=b3.均值不等式与最值已知x,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值

(简记:和定积最大).(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值

(简记:积定和最小).4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;AB2.已知x,y为正实数,且xy=4,则x+4y的最小值是(

)A.4 B.8 C.16 D.32C4.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是

.

关键能力·课堂突破类分考点,落实四翼利用均值不等式求最值直接法利用均值不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各项必须为正数.(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”是利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.配凑法配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用均值不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.常数代换法(2)已知正数a,b满足4a+b=ab,则a+b的最小值为(

)A.3 B.9 C.16 D.25[典例迁移3]本例(2)中条件变为正数a,b满足a+b=ab-1,求a+b的最小值.消元法通过消元法利用均值不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用均值不等式求最值.[针对训练]答案:9均值不等式的综合应用答案:(1)B(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y<m2-24m有解,则实数m的取值范围是

.答案:(2)(-∞,-1)∪(25,+∞)(1)当均值不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用均值不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用均值不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.[针对训练]均值不等式的实际应用[例6]如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2,人行道的宽分别为5m和8m,设休闲区的长为xm.(1)求矩形ABCD所占面积S(单位:m2)关于x的函数解析式;[例6]如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2,人行道的宽分别为5m和8m,设休闲区的长为xm.(2)要使公园所占面积最小,问:休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少?利用均值不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用均值不等式求得函数的最值.培优点(一)均值不等式链[知识链接][典例]1.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2