新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异素养作业新人教A版必修第一册

第四章4.44.4.3A组·基础自测一、选择题1．有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是(C)A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)[解析]通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是(C)A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x[解析]将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．3．在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是(D)[解析]函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，显然y＝ax的图象不符，排除A、B，故选D.4．已知－1<a<0，则(A)A．0.2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>2a B．2a>0.2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))aC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>0.2a>2a D．2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>0.2a[解析]因为－1<a<0，故函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递减，因为0.2<eq\f(1,2)<2，所以0.2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>2a.5．(多选题)能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(BC)A．x>2 B．x>4C．0<x<2 D．2<x<4[解析]如图，结合图象可知，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，有log2x<x2<2x.故选BC.二、填空题6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_甲_作为函数模型．[解析]把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是_y＝x2_.[解析]当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．8．若x∈(0,1)，则的大小关系依次是2x>>lgx_.[解析]结合y＝2x，y＝及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>>lgx.三、解答题9．已知函数f(x)＝，g(x)＝log2x，x∈(0，＋∞)．(1)计算f(4)，f(16)，g(4)，g(16)；(2)利用图象比较出和log2x的大小关系．[解析]f(4)＝2，f(16)＝4，g(4)＝2，g(16)＝4.(2)作出f(x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，>log2x；x＝4或x＝16时，＝log2x；在(4,16)内，<log2x；在(16，＋∞)内，>log2x.10．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?[解析]设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.则eq\f(M,N)＝eq\f(2,1＋10%5).∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴eq\f(M,N)>1，即M>N.因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．B组·能力提升一、选择题1．函数y＝2x－x2的图象大致是(A)[解析]分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D.故选A.2．当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是(C)A．(eq\r(2)，2) B．(1，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))[解析]当0＜x≤eq\f(1,2)时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))点时，a＝eq\f(\r(2),2)，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足eq\f(\r(2),2)＜a＜1，故选C.3．(多选题)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法中正确的是(BC)A．前5min温度增加越来越快B．前5min温度增加越来越慢C．5min后温度保持匀速增加D．5min后温度保持不变[解析]前5min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B、C正确，故选BC.二、填空题4．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_6_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_10_000_倍．[解析]由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A9,5级地震的最大振幅为A5，则有lgA9－lg0.001＝9，得A9＝106；同理得A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．5．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：地震强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)，则a＝eq\f(2,3)_，b＝eq\f(73,15)_.(取lg2＝0.3)[解析]由题表中数据得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alg1.6＋b＝5，,alg3.2＋b＝5.2，))两式相减得a(lg3.2－lg1.6)＝0.2，所以alg2＝0.2，解得a＝eq\f(2,3)，所以b＝5－eq\f(2,3)lg1.6＝5－eq\f(2,3)(4lg2－1)＝5－eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(73,15).则y＝eq\f(2,3)lgx＋eq\f(73,15)，经检验，后两次数据也适合该式．三、解答题6．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．[解析](1)由题意知y＝logax是增函数，∴a>1，又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))∴a＝2，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,10%x，x>64，))(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x≥4，,10%x≤10，))解得16≤x≤100，∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．C组·创新拓展一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，有以下四个说法：①在第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；③大约在第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；④在图2的四条曲线(S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．其中，所有正确说法的序号是_①④_.[解析]由题图1可知，该赛车先在直道行驶不到0.4km，转过弯道又进入直道，加速行驶，以此循环行驶，在2.6km到2.8km之间，赛