新教材适用2023-2024学年高中数学第3章函数的概念与性质3.4函数的应用一素养作业新人教A版必修第一册

第三章3.4A组·基础自测一、选择题1．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36kPa时，y＝108g/m3，则y与x的函数关系式为(A)A．y＝3x(x≥0) B．y＝3xC．y＝eq\f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq\f(1,3)x[解析]由题意设y＝kx，将(36,108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x.此时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0.2．北京某快递公司邮寄重量在1000克以内的包裹的费用标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤15001500＜x≤2000…邮费y(元)5.006.007.008.00…如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1300km的某地，那么他应付的邮费是(C)A．5.00元 B．6.00元C．7.00元 D．8.00元[解析]当0＜x≤2000时，邮费y与运送距离x之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，0＜x≤500，,6，500＜x≤1000，,7，1000＜x≤1500，,8，1500＜x≤2000，))∵1300∈(1000,1500]，∴当x＝1300时，y＝7，故选C.3．有一直角墙角的平面图如图所示，两边的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)，4m，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(C)[解析]设BC＝x，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－x≥4，,x≥a.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤12，,x≥a.))所以0<a≤12，a≤x≤12，花圃的面积为y＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，且a≤x≤12.当0<a≤8时，花圃的面积的最大值ymax＝S＝64为定值；当8<a≤12时，花圃的面积的最大值逐渐变小且S<64.观察各选项，知选C.4．下表表示一球自一斜面滚下七秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)t012345s0104090160250当t＝2.5时，距离s为(B)A．45 B．62.5C．70 D．75[解析]由图表可知，距离s与时间t的关系是s＝10t2，∴当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5，故选B.5．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A，B产品各一件，盈亏情况为(B)A．不亏不赚 B．亏5.92元C．赚5.92元 D．赚28.96元[解析]依题意有A产品的原价为16元，B产品的原价为36元，若厂家同时出售A，B两种产品，亏5.92元．二、填空题6．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为_800_副．[解析]由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少为800副时才不亏本．7．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是2eq\r(3)_cm2.[解析]设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3)，这两个正三角形面积之和的最小值是2eq\r(3)cm2.8．某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝_100_，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为_[60,100]_.[解析]记每小时的油耗为y，根据题意得y＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))，则当x＝120时，y＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，所以y＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－100＋\f(4500,x))).y≤9，即eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－100＋\f(4500,x)))≤9，解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60,100]．三、解答题9．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则(1)设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元)，销售总收入为y3(单位：万元)，总利润为y4(单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：万元)的函数解析式；(2)根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．[解析](1)由题意，得y1＝150＋0.25x，y2＝eq\f(150,x)＋0.25，y3＝0.35x，y4＝0.35x－(150＋0.25x)＝0.1x－150.(2)画出y4＝0.1x－150的图象如图．由图象可知，当x<1500时，该公司亏损；当x＝1500时，公司不赔不赚；当x>1500时，公司赢利．10．某市经测算2023年6月每日处理厨余垃圾的成本P(元)与日处理量x(吨)之间的函数解析式可近似地表示为P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40x，0≤x≤20，,\f(1,2)x2＋76x－1000，20＜x≤30，))且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值为100元的化工产品的收益．(1)设纯收益为y元，写出函数y＝f(x)的解析式；(纯收益＝总收益－成本)(2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得日纯收益最大？[解析](1)由题意可得f(x)＝100x－P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100x－40x，0≤x≤20，,100x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋76x－1000))，20＜x≤30))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,－\f(1,2)x2＋24x＋1000，20＜x≤30.))(2)当0≤x≤20时，f(x)＝60x单调递增，可得f(x)的最大值为f(20)＝1200；当20＜x≤30时，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋24x＋1000＝－eq\f(1,2)(x－24)2＋1288，当x＝24时，f(x)的最大值为1288.因为1288＞1200，所以该公司每日处理厨余垃圾24吨时，获得日纯收益最大．B组·能力提升一、选择题1．某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元．每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大(D)A．155 B．165C．178 D．185[解析]设每辆车的日租金为x元，租赁公司的日收益为W元，则每辆车的日收益为(x－20)元，租赁公司日出租车辆数为200－eq\f(x－100,5)×4，所以W＝(x－20)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－100,5)×4))))＝－eq\f(4,5)x2＋296x－5600.所以当x＝eq\f(296,\f(4,5)×2)＝185时，W取得最大值．则每辆车的日租金为185元时，租赁公司的日收益最大．2．(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(BD)A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x[解析]在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确．故选BD.3．(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(BCD)A．出租车行驶2km，乘客需付费8元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km[解析]出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；出租车行驶10km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，B正确；乘出租车行驶5km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；设出租车行驶xkm时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选BCD.二、填空题4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝_3_时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为_30_.[解析]设四边形EFGH的面积为S，则S＝13×3－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)13－x3－x))＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0,3]．因为S＝－2(x－4)2＋32在(0,3]上单调递增，所以当x＝3时，S有最大值为30.5．两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝eq\f(v2,25)，设车辆限速不超过60m/s，那么两车都通过的最短时间为_4_s.(车的长度忽略不计)[解析]设车速为v，则两车安全间距L＝eq\f(v2,25)，第二辆车走过的路程为100＋eq\f(v2,25)，则两车都通过的时间t＝eq\f(100＋\f(v2,25),v)＝eq\f(100,v)＋eq\f(v,25)(0＜v≤60)．所以t＝eq\f(100,v)＋eq\f(v,25)≥2eq\r(\f(100,v)·\f(v,25))＝4，当且仅当eq\f(100,v)＝eq\f(v,25)，即v＝50时等号成立．所以两车都通过的最短时间为4s.三、解答题6．某汽车制造企业计划在2023年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x2＋200x，0<x<40，,601x＋\f(10000,x)－4500，x≥40，))该企业确定每辆新能源汽车的售价为6万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．(1)求2023年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(其中利润＝销售额－成本)；(2)2023年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析](1)当0<x<40时，L＝600x－10x2－200x－2500＝－10x2＋400x－2500；当x≥40时，L＝600x－601x－eq\f(10000,x)＋4500－2500＝2000－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x))).∴L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10x2＋400x－2500，0<x<40，,2000－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4