湖南省永州市第十六中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

九年级第一次月考数学试卷考试时间：120分钟总分：120一、单选题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是相似图形的一组是（）

A．B．C．D．2．下列四条线段能成比例的是（）A．B．C．D．3．已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有一个根是4．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（）A．当时，随增大而增大B．该函数图象经过点C．该函数图象位于第一、三象限D．当时，5．已知，那么下列等式中成立的是（）A．B．C．D．6．我国古代数学专著《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出方程正确的是（）A．B．C．D．7．下列命题中，正确的是（）A．相似三角形的角平分线的比等于相似比B．所有的菱形都相似C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个D．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边8．点都在反比例函数的图像上，且，则的大小关系是（）A．B．C．D．9．如图，都与轴垂直，垂足分别为，点在双曲线上．若，，则的值为（）A．2B．C．4D．10．如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每小题3分，共18分）11．已知是一元二次方程的两根，则代数式的值为________．12．已知均为非零的实数，且满足，则的值为________．13．点是线段的黄金分割点，如果，则较长线段的长度为________．14．如图，在中，点为边三等分点，点在边上，，点为与的交点．若，则的长为________．15．如图，在中，为上一点，且，若在边上取点，使与相似，则的长为________．16．已知关于一元二次方程，有下列说法：①若则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是________．（填写序号）四、解答题（共72分）17．（6分）．解下列方程：（1）；（2）18．（6分）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，求证：．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点．（1）求对应的函数表达式；（2）直接写出当时，不等式的解集．（3）求的面积20．（8分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若，求实数的值；（3）求使的值为整数的实数的整数值．21．（6分）如图，平行四边形中，为中点，连接交对角线于．（1）求与的面积比；（2）若的周长为24，求的周长．22．（8分）某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）在（1）的定价情况下，衬衫的成本价是120元，为了更快的盈利和清理库存，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，领带按照标价的8折出售，领带标价是其成本价的2倍，每套的利润为w元，领带的成本价为m元，当m为多少元时，才能使每套的利润最大，最大值是多少？23．（10分）如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．（1）填空：________，________；（用含的代数式表示）（2）当为何值时，的长度等于？（3）是否存在的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．24．（8分）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，则称点是点的等和点．（1）已知点①在中，点的等和点有________；②点在直线上，若点是点的等和点，点的坐标为________；（2）已知：点是双曲线上的两点，且都是点的等和点，则的面积为多少．25．（12分）如图，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交延长线于，已知，问：（1）点此时的位置；（2）求的值．第一次月考数学答案：一、选择题1．D【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论．【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键．2．C【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c:d.只要代入验证即可.【详解】解：A.4：6≠5：10，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；B.：3≠2：，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；C.2：＝：，则a：b＝c：d，即a，b，c，d不成比例；D.1：2≠3：4，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；【点睛】本题主要考查了成比例的定义，关键在于理解线段成比例时，各个线段的顺序.3．C【分析】先将代入中求出，则一元二次方程化为，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：把代入得，解得，则一元二次方程化为，∵，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．4．A【分析】根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．【详解】解：∵∴A．当时，随增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；B．当时，，原说法错误，故本选项不符合题意；C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；D．当时，，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．5．C【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答．【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a=2b，A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；B：，即，故错误，不符题意；C：，即，故正确，符合题意；D：，即3a=4b，故错误，不符题意；故选C．【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键．6．B【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案．【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：，故选：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．7．C【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：A、相似三角形对应边上的角平分线的比等于相似比，原说法错误，不符合题意；B、菱形不一定都相似，原说法错误，不符合题意；C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，原说法正确，符合题意；D、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，原说法错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．8．A9.D10．B【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断①，②；利用正方形的性质与，证明，可判断③；连接，证明，再证明为直角三角形，可判断④；证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤．【详解】解：正方形，，绕点沿逆时针方向旋转得到，，，，三点共线，，，故①错误；由由始终平分故②始终平分正确；正方形故③正确；如图，连接④正确，垂直平分．故⑤垂直平分正确．综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．故选：B．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题11．112．或【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解．【详解】解：∵，∴∴即，当时，，当时，，故答案为：或．【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．13．2√5-214．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得．【详解】解：、为边的三等分点，∴，∵，∴，∴，，，是的中位线，，∵，则，，，，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．816．①②③④【分析】根据根与判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②．【详解】解：①若，则一元二次方程有一个根为，∴；故①正确；②若方程两根为1和2，则：，即：，∴；故②正确；③若方程有两个不相等的实根，则：，∴，∴方程必有实根；故③正确；④，则：，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故④正确；故答案为：①②③④【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．三、解答题17．（1）解：，，，∴或，解得：；（2）解：解得：X1=-1,X2=318．．【详解】证明：，，

，

，

．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．19．（1）把点代入，得，，把点代入中，得，，把点代入直线，得，解得，；（2）由图象可知，当时，不等式的解集是；(3)S△AOB=320.（1）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，且，解得：；（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，即，解得：．（3）解：∵，，∴=∴或，或2，或，或4，或，解得或，1，，3，，∵，∴，，．【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．21.【详解】（1）∵四边形为平行四边形，∴∴，，，又∵为中点∴∴∴．（2）∵，且∴∵的周长为∴的周长为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的相似比得到面积比和周长比．22.（1）解：设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件．，或，∵为了增加盈利并尽快减少库存∴每件衬衫应降价20元．（2）由题意得：∵领带的成本价不高于衬衫成本价的一半，∴，∵，∴w随m的增大而增大∴当时，有最大利润，每套最大利润为元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．23．（1）2t(5-t)(2)解：（5-t）2+（2t）2=52解得t1=0,t2=2。所以当t=2或0时，PQ为5cm(3)存在。由题意：因为t<6÷2所以t<32t(5-t)2=12×5×6-9解得：