数一线性代数第五章

5章矩阵的特征值和特值向量—特征值和特征向量（一）矩阵的特征值和特征向量的概念（二）特征值与特征向量的性质（三）可以进一步延伸的公式★二矩阵的相似（一）相似的概念（二）相似的性质（三）相似关系可进一步延伸的公式三矩阵的相似对角化问题（一）矩阵可对角化的概念（三）将nA★四实对称矩阵（一）实对称矩阵的性质★（二）实对称矩阵的对角化问题（三）

—（一）矩阵的特征值和特征向量的概念定义An阶方阵，若存在一个数AXX存在非零解AXA的属于的特征向量（1）AXX中，X是非零列向量，这一点非常重要.X是个零向量，则XAXX平行.而两个向量平行AXXAXX的倍.名（1）特征方程是的n次方程.A的n个特征值1, ,n就是特征方程EA（在复数范围内）n个根（包含重根，因此特征值又称为特征根定义fA(名（1）特征方程是的n次方程.A的n个特征值1, ,n就是特征方程EA（在复数范围内）n个根（包含重根，因此特征值又称为特征根拨（2）Ai的特征向量，可以用求解：(iEAX0来计算由于iEA0，因此齐次方程(iEAX0必有无穷多个解（即有非零解，其每一minr(iEA（即方程(iEAX0的基础解系中向量的个数mi为i的几何重数，而特征值ini称为i的代数重数（二）特征值与特征向量的性质 ,n)为n阶矩阵A(aij)nn的特征值,则有 （1）iaij(aii称为A的迹，记为tr(AiA （2）A的不同特征值的特征向量必线性无关，这个性质包含两层内容

s是A的两两不等的特征值，X1

,

是A的分别属于 ,Xs必线性无关 X11,X12

是 的分别属X11,X12 必线性无关中性质（1）A中参数的情形.由A0A必至少有一个零特征值（三）nfAX0f(0X0f(xk

AkXAkXX(kAtEX0k0tX0k,t为常数AA1X1XivA*XAA1X X②(P1AP)(P1X0)ivA*XAA1X X(2)nAfAOf(00拨fAOf(0Af()0中求出的是特征值所可能取值的范围二（一）定义nABPP1APBA（二）nAA~AA~BB~C则A~C定理相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值拨A~B，则AB，这也是考研题的常考考点之一.A~B(P1AP)(P1X)(P1X) （三）相似关系可进一步延伸的公式nABA~BAT~BTfA)~f(BfAf(BAB的同一个矩阵多项式AB,EAEB,tr(A)=tr(B),r(A)r(B),AB三（一）定义nAnPP1AP（为对角矩阵）成立，则称A可相似对角化，简称A可对角化，否则就称A不可对角化.（二）定理若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵的n个主对角线元素必是A的n个特 ,n（包括重根其相似变换矩阵P的n个列向量X1,X2 ,Xn是A的

nX1X2

,

线性无关即有：P1AP,其中

,P(X,X ,X

jj

j(j1, ,n)定理nAAn个线性无关的特征向量A可对角化的一个充分条件，而不是必要条件.条件“An个两两A可对角化的一个充分条件，而不是必要条件.条件“An个两两一个定理中的“有n个线性无关的特征向量”的条件.设iAni（即i是ni重特征值mi（i的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(1EAX0minr(iEAmini.的情形,但并非是有重特征值的矩阵一定不能对角化特征值，其几何重数都恰好等于其代数重数n的情形,但并非是有重特征值的矩阵一定不能对角化特征值，其几何重数都恰好等于其代数重数第一步：令f()EA0，求出A的全部特征值：1, ,s(1sn)，对每一 ,s)P(X11,X12， PAP 拨P是不唯一的，但是唯一的（若特征跟从小到大排列好了，其主对角线元素必是A的全部特征值.四（一）（二）实对称矩阵的对角化问题一个相似变换矩阵P，使P1AP成立，也就是说，对于实对称矩阵的每一个特征值使Q1AQQTAQ（三）前两步和一般情形一样

ii ,qim(i1, ,s)，把这s组特征向量合起来，必共有n个特征向量，i ,q2m ,qsm)(q1,q2 ,qn)Q 则Q Q1AQQTAQ

—求矩阵的特征值和特征向量1．[99，一(4)|3分]设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值 【分析】【详解】n，0，0，…，0(n－1个

【得分率

【评注】aac2．[99，十|8分]Ab03，其行列式|A|＝－1A【分析】A*A的特征值和特征向量的问题，从而确定A中的参数及A*.【详解】【得分率】

1 c 故有λ 310

得5b3

*≠0(因|A|＝－1，有A的特征 A*的特征值λ≠0)，由(1)、(3)式得ac，再0得λ0＝1，由(2)

λ0 再由ac，b＝－3，且|A|＝－1 a

3 31 AA*A*α＝λ0αAAA*＝|A|EA的特3．[03，九|10分]A

2,P

1,

－1A*PB＋2E 2

0 【分析】AA*，BB＋2E的特征值，最【详解】【得分率】 2 27 07≠0，故A是可逆矩

其特征值 ξ＝λ ξ＝λλBP－1ξ＝ λ又 (*)＋(**)，得B2EP－1ξ＝

2 由1

＝(λ－7)12

＝(λ－7)0

故A有特征值 当λ＝7时，由(λE－A)x＝ 2 2 4 当λ＝1时，由(λE－A)＝ 2

＝0，解得

2 由|A|＝7，P－1＝

B＋2E有特征值μ1＝2＝3，μ2＝μ3＝ 0

1

0 11k1

1 11 0110

11

1 001k2η2＋k3η3 0 1 【评注】 2，P－1＝ 0

5

0

1 0 0B＝P－1A*P＝ 4，B＋2E＝ 3 5B＋2E

若能观察出A 2

本题是求矩阵的特征向量，不是求可逆矩阵P，因为特征向量是(λE－A)x＝04．[08，一(6)|4分]A是三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程xy

y＝1交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值的个数是

【分析】【详解】应选 【得分率】x2

b2 【评注】5．[08，二(13)|4分]设A是二阶矩阵，α1，α2是线性无关的二维列向量，且Aα1＝0，Aα2＝2α1＋α2，则A的非零特征值是 【分析】【详解】应填 【得分率】 A(α，α)＝(0，2α＋α)＝(α，α) 1

，α

线性无关，P＝(α，α) 2 P1AP＝

11 A和上三角阵 相似，有相同的特征值 λ2＝1，故A的非零特征值为 【分析】1【详解】应填 【得分率】βαT有非零特征值λ＝2.(对应的特征向量为β≠0)，故应填2. (A－2E)A＝O，A≠O，(A－2E)X＝0有非零解，|A－2E|＝0 2 222332 22233 b3

故 【评注】nA1AX＝0n－1个线性无关解，它们均是对应于λ＝0的特征向量，故λ＝0An－1A

(C)

【分析 看清题目，说清每个已知条件的作用，即可得出结论【详解 应选 【得分率】解：(1)A为四阶实对称矩阵，AA的全部 A2＋A＝0A的特征值满足λ2＋λ＝λ(λ＋1)＝0，A 由上述三个条件知，应选 【评注】由(2)知，A的特征值取值范围是－1，01A的特征值，故可排i记n阶矩阵A＝αβT.求：

bA*λαb 1 二关于相似及相似对角化的问题12xn别为x和y，记成向 ynxn1 xn xn1 xn与y求 y

＝Ayn1 n

n1 n 验证η1＝，η2＝

x1

xn1时， 2y 1 21 n12xn1 xn与【分析】仔细读懂题意，建立 y的递推关系式并表示成矩阵形式，然n1 nxn1

yy【详解】【得分率】5x与1x＋yx与工和非熟练工所占百分比为6x

65

21

y n

n

xn1

x n＋1年一月，有

5

，整理得

10

n

y

yn1

x3

56

10 5

xn1

2 5

3y

3n1

5

n

511

1，由|P|＝

1Aη＝

254＝4＝ηηA对应于特征值λ＝1

52Aη＝ 5

1

η是矩阵 1 1

5

21＝η2，故

xn1＝Axn＝A2xn1＝…＝Anx1 y yn1 n n1—

1— 0—

2

1

，Λn＝ 210n110n1 2

1 4 4

5 5 1 1 2 2 1 1n1 1n x 42

442

1832n1 2 因此 y＝ 1 1n1

10 1nn1 1 1 1 2 2 2 2 2 12：将2η，η1

22 2

，解

1x11x21 1＝5，2＝10，故

xn1

2nx1 n1η

3η

1 所以 ＝A ＝A5 102＝1η1 1n 1 31n n ＋ n 1021 10 1

2 2满足A3x＝3Ax－2A2x.计算行列式ABPB.A没有具体给出，因而应从定量不是A的特征向量，这一点不要混淆．【详解】【得分率】A(x，Ax，A2x)＝(Ax，A2x，A3x)＝(Ax，A2x，3Ax－2A2x)＝ 010 3100 所以B＝

03 0

03 0 :A(A2x＋2Ax－3x)＝0(A2x＋2Ax－3x)，－3x是属于λ＝0的特征向量 类似地，由知λ＝1AA2x＋3Ax；λ＝－3A的特征值，A2x－Ax是特征向量．A有三个不同的特征值1，－3，0，也就有三个线性无关的特征向量，依次是 2

1于是所以

＝

1

1

＝ 0

03. 4:

3c1 c3

(Ax，Ax，Ax)＝(x，Ax，A

3AxaxbAxcA2

c1 c3即

2xaxb2Axc2A2 2A3xaxbAxcA2x3Ax2A2 ax(b1)AxcA2x 于是a2xb2Axc21A2xa(b3)Ax(c2)A2x a0,b0,c a0,b3,c

3 A＋E的特征值是2，－2，1.于是|A＋E|＝2·(－2)·1＝－4.但是从A3x＝3Ax－2A2x⇒(A3＋2A2－3A)x＝0得|A3＋2A2－3A|＝0⇒|A||A－E||A＋3E|＝0.A的特征值就是0，1，－3，这一点要理解清楚．3．[02，十|8分]A，B【分析】(1)【详解】【得分率】故 A，B有相同的特征多项式

0，B＝

1，则有|λE－A|＝λ2＝|λE－B|，A，B 的逆命题不成立 A，B有相同的特征值(包括重数)，A，B将相似于同一个对角阵，设特征值为λ1，A～

n【评注】2002年考得比较差的考题之一．关于(1)是若A～B，则A与B有相同的特征值，但A与B的特征值相同时，A和B不一定相似．考题要求考生举出一个2阶矩阵的反例．A～

2ABA，BΛ 2与10， 0与 0， 0与

4．[04，三(21)|9分]设矩阵A＝

5【分析】AA可相似对角化⇔An个线性无关特征向量，来讨论A是否可相似对角化．【详解 【得分率

1

0

0

1

2

3

＝(λ－2)

3＝(λ－2)

a

重根，则λ2－8λ＋18＋3a是一个完全平方． a＝－2的特征值为2，2，6，矩阵2E－A＝

331，故

3

3的秩为2，故 2，亦可求2

0

1 设n矩阵A＝ 三Ax＝0α1，α2AA的特征值、特征向量联系起A的特征值和特征向量，再将重特征值的特征向量正交化，将全体特征向量单位化，求得正交变换矩阵Q.【详解 【得分率】向量，α1，α2线性无关，故λ＝0至少是A的二重特征值．A1

33， 33，13应于λ＝0的全部特征向量． (2)α1，α2β1＝α1＝2 1 2 β2＝α2βββ1＝1 2＝ β2＝0 1 1 1

21 1 6 3

11

，β＝ ，α 311 11 6 3 1 3 Q＝[β，β，α

QAQ＝Λ，Λ＝

1 3 1 3

【评注】(1)中将题设条件与A的特征值、特征向量联系起来很重要，这要依靠(2)中的正交化是标准做法，也可将λ＝0α1，α2中舍去一个，而利用正T，设ξ2＝[x1，x2，x3]T与α2，α3正交(α1，α3已正交)，得{(ξ2，α1)＝－x1＋2x2－x3＝0，ξ2,α1x12x2x3

ξ，α，α(ξ,α)xxx 【分析】(Ⅰ)α1B的特征向量，A是实对称矩阵，B求B，其中B＝PΛP－1.【详解】【得分率】 ＝1，λ2＝2，λ3＝－2时，Bλ′1＝f(λ′1)＝－2，λ′2＝f(λ′2)＝1，λ′3＝fBλ′1＝－2＝[1，－1，1]T，可取对应λ′2＝1的特征向量为α2＝[1，1，0]T，取对应λ′3＝1的特征向量为 6Q＝

1