20222023年暑假自学练习第一章特殊的平行四边形第一节菱形的性质与判定（原卷）

菱形的性质与判定菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形拓展延伸菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法解题方法判定一个四边形是菱形应满足两个条件：一是平行四边形，二是有一组邻边相等.二者必须同时满足，缺一不可.例1．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC变式：下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是()A.AB=CDB.AB=BCC.∠BAD=90°D.AC=BD菱形的性质证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在菱形是特殊的平行四边形，它除了具有一般平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊的性质拓展延伸(1)菱形的周长等于边长的4倍.（2）菱形的每条对角线平分一组对角.规律总结如果一个菱形的内角为60°或120°，那么内角为60°的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形.例2．如图13所示，菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,若AC=4,BD=6，则菱形ABCD的周长为（）C.413变式：如图所示，菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为8，另一条对角线BD长为()B.12菱形的判定边定义法有一组邻边相等的平行四边形是菱形定理四边相等的四边形是菱形对角线定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形拓展延伸对角线互相垂直且平分的四边形也是菱形。易错点津判定菱形常见的错误说法：（1）有一组邻边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的四边形是菱形;（3）两组邻边相等的四边形是菱形例3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是菱形．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB时，四边形ABCD为菱形．故答案为：AB＝BC．变式：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，菱形的面积菱形的面积可以有两种不同的表示法：文字语言符号语言方法1菱形的面积=底X高S菱形=ah(a为底，h为相应的高）方法2菱形的面积=两条对角线长乘积的一半S菱形=12拓展延伸：对角线互相垂直的四边形的面积都等于对角线长乘积的一半.解题方法：菱形的面积可用两条对角线长乘积的一半来求解.注意不要漏乘12例4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积．变式：如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10．计算：（1）对角线BD的长度．（2）菱形ABCD的面积．多变题型题型1．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．（1）求∠DAB和∠CAB的度数；（2）如果AC＝4，求DE和AD的长．变式：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE．若OA＝8，S菱形ABCD＝96，求DE和OE的长．题型2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．变式：如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形．（2）若△ABC满足什么条件时，四边形BECF为菱形，并说明理由．题型3．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．变式：如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四边形ADEF为菱形．我选的是（写序号），并证明．题型4．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH．（1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG；（2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件．变式：如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为AB上一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F，连接BF、DE．（1）若∠ABD＝40°，求∠CAD的度数；（2）求证：BF＝DE．题型5．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．变式：如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC和BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC和AD于点E和F．（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（2）如图2，证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（3）如图3，在旋转过程中，四边形BEDF可能有BF＝FD吗？如果不能，请说明理由；如果能，请先说明理由，再求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．随堂练习1．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD2．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH上AB于点H，则OH的长为（）A．3 B．4 C． D．4．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为.（结果保留根号）5．