圆轮运动的曲线方程

圆轮运动的曲线方程

在图1所示的坐标空间中，有均匀、相互正交的均匀强场和均匀、不规则的磁场，场强分别为ej和bk，重力加速度为gj。由于初速带v0沿一定坐标轴传输，所需压力为。F=(eE-mg)j+e|ijkvxvyvz00B|F=(eE−mg)j+e∣∣∣∣∣ivx0jvy0kvzB∣∣∣∣∣带电粒子的运动微分方程为mdvxdt=evyBmdvydt=(eE-mg)-evxBmdvzdt=0}(1)mdvxdt=evyBmdvydt=(eE−mg)−evxBmdvzdt=0⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1)假设带电粒子带正电,并且沿着Ox轴正向以速度v0=v0i自坐标原点射入电磁场中,解以上方程得到x=bω2ωt+(v0ω-bω2)sinωty=-(v0ω-bω2)(1-cosωt)z=0}(2)其中eBm=ω、eE-mgm=b.我们看到,式(2)表示带电粒子的轨迹为坐标面xOy内的旋轮线.旋轮线可以认为是一个圆轮沿着某一直线作纯滚动形成的.但是,不同条件下所形成的不同旋轮线对应于怎样的圆轮作怎样的运动?以下讨论在不同条件下的旋轮线方程式(2),指出与之对应的圆轮滚动的情况.同时,根据圆轮的滚动过程,导出计算旋轮线曲率半径的普遍公式.1e-mg时粒子在ox轴上的运动带电粒子的轨迹形状决定于其所受竖直方向上的力F1=(eE-mg)j和在初始时刻所受到的洛伦兹力-ev0Bj之间的大小和方向上的比较.1)当eE-mg>ev0B(因为ev0B≥0,所以定有b>0),即0≤v0＜bω时,根据式(2)的第二式,恒有y≥0,表示带电粒子始终在Ox轴及Ox轴上方.式(2)可化为{x=Rωt-qsinωty=q(1-cosωt)(3)其中R=bω2‚q=-v0ω-bω2)(4)如果v0>0,形成这种旋轮线的过程如图2所示:圆轮半径为R,圆轮内与圆心距离为q(<R)处有一点M,起初与坐标原点重合;Ox轴下方(R-q)处有直线AB,圆轮在AB上方沿AB作顺时针的匀角速纯滚动时(N为瞬心),M点的轨迹即为式(3).当ωt=nπ(n=0,1,2,…)时,恒有vx>0,切线斜率k=0,粒子在这些位置处沿Ox轴正向水平运动,如图2所示.如果v0=0,则q=R,式(3)表示普通旋轮线,如图3所示.2)当eE-mg=ev0B,即v0=bω时,y=0.此时电磁场相当于一个“速度选择器”,粒子只能以速度v0=bω=eE-mgeB沿x轴正向作匀速直线运动.3)当eE-mg<ev0B,即v0＞bω时,y≤0,表示带电粒子总在Ox轴及Ox轴下方.有以下3种情况.a)如果b>0,即F1=(eE-mg)j竖直向上,则式(2)可化为{x=Rωt+qsinωty=-q(1-cosωt)(5)其中R=bω2‚q=v0ω-bω2(6)此时也有3种情况.第一种是v0＞2bω＞0.此时q>R.形成这种旋轮线的过程如图4所示:圆轮半径为R,在圆轮的拓展部分上与圆心距离为q(>R)处有一点M,起初与坐标原点重合;Ox轴的下方(q+R)处有直线AB,圆轮在AB的上方沿AB作顺时针匀角速纯滚动时,M点轨迹即为式(5).当ωt=(2n-1)π(n=1,2,…)时,vx=Rω-qω<0且切线斜率k=0,粒子在这些位置处沿Ox轴负向水平运动,与轮心的运动方向相反.第二种情况是v0=2bω＞0.此时q=R.形成这种旋轮线的过程如图5所示:圆轮的半径为R,圆轮边缘上有一点M,起初与坐标原点重合;Ox轴的下方2R处有直线AB,圆轮在AB的上方沿AB顺时针匀角速纯滚动时,M点的轨迹即为式(5).第三种是0＜v0＜2bω.此时q<R.形成这种旋轮线的过程如图6所示:圆轮的半径为R,圆轮内与圆心距离为q(<R)处有一点M,起初与坐标原点重合;Ox轴的下方(q+R)处有直线AB,圆轮在AB上方沿AB作顺时针匀角速纯滚动时,M点的轨迹即为式(5).当ωt=(2n-1)π(n=1,2,…)时,vx>0且切线斜率k=0,粒子在这些位置处沿Ox轴正向运动.b)如果b<0,即F1=(eE-mg)j竖直向下,则式(2)为{x=-Rωt+qsinωty=-q(1-cosωt)(7)其中R=-bω2‚q=v0ω-bω2(8)如果v0>0,形成这种旋轮线的过程如图7所示:圆轮半径为R,其拓展部分上与圆心距离为q(>R)处有一点M,起初与坐标原点重合;Ox轴下方(q-R)处有直线AB,圆轮在AB下方沿该直线作顺时针匀角速纯滚动时,M点的轨迹即为式(7).当ωt=2nπ(n=0,1,…)时,恒有vx=-Rω+qω>0,且切线斜率k=0,表示粒子在这些位置沿Ox轴正向运动,与轮心的运动方向相反.如果v0=0,则q=R,式(7)表示普通旋轮线.c)如果b=0,即F1=(eE-mg)j为零,则式(5)可化为{x=Rsinωty=-R(1-cosωt)(9)粒子轨迹为O点正下方的顺时针圆,半径R=v0ω,圆心为(0,-R).上述各种曲线中,凡曲线位于Ox轴上方时,带电粒子与Ox轴的最大距离为D=2bω2-v0ω=2q(10)D随v0减小而增大;凡曲线位于Ox轴下方时,带电粒子与Ox轴的最大距离为D=2v0ω-bω2=2q(11)D随v0增大而增大.图8是v0＞bω＞0情况下带电粒子的轨迹,其中数字是v0与bω的比值n.2m点加速度的计算知道了圆轮形成旋轮线的具体细节,可以很简单地导出求旋轮线曲率半径的计算公式.如图9所示,半径为R的圆轮的拓展部分上与圆心距离为q(q>R)处有点M.圆轮在Ox轴的下方沿着该轴逆时针纯滚动,M点起初在最低点.设圆心C的速度vC恒定.以C为基点,任一时刻M的加速度a等于圆轮质心的加速度aC与该点相对于基点系的加速度a(n)CM+a(τ)CM的矢量和.aC=0,故a(τ)CM=0,故a=a(n)CM.M的加速度又等于对运动轨迹的切向加速度和法向加速度的矢量和,即a=an+aτ.综上,有an+aτ=a(n)CM.故M点对运动轨迹的法向加速度an(见图9)的大小为an=a(n)CMcosα=ω2qcosα(12)设线段¯CΜ与¯CΝ夹角(不是圆轮的转角)为θ,由几何关系(图9)可知,有¯ΝΜcosα=q-Rcosθ(13)代入上式消去cosα,得到an=ω2q(q-Rcosθ)¯ΝΜ(14)而M点速度大小的平方为v2=ω2¯ΝΜ2(15)N为瞬心.由¯ΝΜ2=R2+q2-2Rqcosθ及以上两式得到旋轮线的曲率半径为ρ=v2an=(R2+q2-2Rqcosθ)3/2q(q-Rcosθ)(16)曲线的最大和最小曲率半径分别为ρmax=(q+R)2q‚ρmin