用平移、旋转和轴对称几何问题

.z.用平移、旋转和轴对称研究几何问题学习旋转要解决的问题：分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的表达；②增加干扰线段，隐含局部，主动发现旋转关系，并证明*些结论③需要添加辅助线，完善图形创造情境，进展证明。要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；〔辅助线添加方向〕一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用1．：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形.求证：BD⊥EC.2．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝45°，∠C＝20°，∠EAB＝30°，则∠D＝°，假设AC、DE交于点F，则∠EFC＝°.3．如图，△ABC中，∠BAC=120º，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60º后到△ECD的位置.假设AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长.4．：如图，A、B、C在同一直线上，且与都是等边三角形，求证：.拓展如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、交于点F．〔1〕求证：AN=BM；〔2〕求证：△CEF为等边三角形；〔3〕将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90º，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第〔1〕、〔2〕两小题的结论是否仍然成立〔不要求证明〕．5．如图，正方形ABCD和BC边上一点E，将直角三角形ABE绕点B逆时针旋转90o，再沿BC方向平移，平移距离是线段BC的长度，请画出图形.并答复：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系.1．〔三角形的倍长中线〕：在△ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E，使BE=AB，连结CE.求证：CD=CE.拓展1如图1，△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值围．提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS〞易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．拓展2如图2，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：DF=EF．提示：此题辅助线作法较多，如：①作DG∥AE交BC于G；②作EH∥BA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF＝EF．2．〔三角形的翻折角平分线〕：在中，，AD是的平分线.求证：.拓展1如图，：在中，，AD是的平分线，P是AD上任意一点.求证：.拓展2：ΔABC中，∠A=，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P.求证：AE=AP.3．〔梯形的线段倍长〕：梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，AE平分∠BAD．求证：AB=AD+BC．拓展1如图，：在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90º，F为BC的中点，∠AFC=3∠BAF.求证：CD=CF.拓展2：直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，F为BC的中点，CF=DC．求证：∠AFC=3∠BAF．拓展3：如图5，在梯形中，、N分别是、的中点。求证：。4．〔正方形中的三角形旋转〕：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE.拓展1如图，：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，假设有.求：的度数.拓展2如图，：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，假设有.求证：.拓展3如图，正方形ABCD边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，假设△APQ的周长为2．求∠PCQ的大小．拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF=45º，AH⊥EF．求证：AH=AB．拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，假设矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程．5．〔三角形的辅助线旋转〕，如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3.求证：DE的长.拓展1如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形的一点，且∠APB=∠APC．求证PB=PC．拓展2△ABC中，AB=AC，D是三角形一点，假设∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．分析将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC，得∠AEC＞∠ADC．又∠ADE=∠AED，相减，得∠DEC＞∠EDC．∴CD＞CE．即CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．拓展3假设P为正方形ABCD一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1，PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90º，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90º→PE=，∠BPE=45º。又∴∠APE=90°．于是∠APB=135°．拓展4在等边三角形有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.〔答案：〕分析将△CPB旋转到△AP`B，连接PP`，延长BP，过A作AD⊥BD.易知△APP`是直角三角形，因为∠BPP`=60º，所以∠APD=30º，则AD=2，DP=.6．〔轴对称变换〔翻折问题〕〕〔1〕如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD=8，AB=4.求△BED的面积．〔2〕如图，将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG．假设FG的长为13厘米.求线段CE的长．〔3〕如图，点M、N为矩形ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向折叠，使点B落在直线MN上，得到落点B`和折痕AE，延长EB`交AD于F.判断△AEF是什么三角形，并说明理由．〔4〕把一正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF，如图〔1〕所示．接着，使点C不动，把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B`，折痕为GC，如图〔2〕所示．连AB`，问图中∠GAB`是多少度？求∠GAB'相当于求∠AB'E显然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因为是对折得到的，所以CB'=CB=1/2CF又因为EF垂直于BC，所以∠FB'C=30°假设正方形边长为1，算出B'F=〔根号3〕/2所以B'E=1-〔根号3〕/2所以tan∠AB'E=AE/B'E=(1/2)÷(1-〔根号3〕/2)=2+根号3所以∠AB'E=75°=∠GAB'7．〔梯形的平移辅助线〕〔1〕：如图2，在梯形ABCD中，．求证：．〔2〕：如图3，在梯形中，．求证：梯形是等腰梯形．〔3〕：如图7，在梯形中，、N分别是、AB的中点．求证：．几何综合1．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，.〔1〕求证：AD=AE；〔2〕如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：；〔3〕请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点〔P不与点E重合〕时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.图图1EBCAD图3EBCAD图2ECBADFPyOABC11*2．如图，在平面直角坐标系*Oy中，一次函数的图象与*轴交于点A，与y轴交于点yOABC11*〔1〕求证：△ABC是等边三角形；〔2〕点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．①假设CP＝6，直接写出∠AEP的度数；②假设点P在线段BC的延长线上运动〔P不与点C重合〕，∠AEP的度数是否变化？假设变化，请说明理由；假设不变，求出∠ADP的度数；〔3〕在〔2〕的条件下，假设点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y＝S1－S2，运动时间为t〔t>0〕秒时，求y关于t的函数关系式．3．：如图1，点P在线段AB上〔AP＞PB〕，C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．〔1〕求证：△EHG是等腰直角三角形；〔2〕假设将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由．4．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.〔1〕求证：ME=MF；〔2〕假设将原题中的正方形改为矩形，且，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.5.如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究以下图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：〔1〕①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．〔2〕将原题中正方形改为矩形〔如图10-4～10-6〕，且，试判断〔1〕①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.〔3〕在图10-5中，连结、，且，则=．1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D’重合，ED’与边CD交于点F。〔1〕当点E为BC边中点时，求⊿ECF的周长？连结AE，AF，求∠EAF的度数？〔2〕当点E在BC边上运动时，〔1〕中的结论变化吗？试说明理由。2．正方形纸片ABCD的边长为2．操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处〔点P与C、D不重合〕，折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．探究：〔1〕观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；〔2〕当点P位于CD中点时，你找到的三角形与周长的比是多少〔图2为备用图〕？3．几何模型：条件如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小〔不必证明〕．模型应用：〔1〕如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；〔2〕如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，则的最小值是___________；〔3〕如图3，，是一点，，分别是上AB′PlOAB′PlOABPRQ图3OAB