专题16 极值与最值（原卷版）

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期专题16极值与最值【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值题型四：根据最值求参数题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用题型六：不等式恒成立与存在性问题【考点预测】知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【方法技巧与总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法技巧与总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．例1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为例2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）A．个 B．个 C．个 D．个例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（

）A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极大值点与极小值点；(3)求在区间上的最大值与最小值．变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．(1)求，的值；(2)若，求的单调增区间和极值．变式5．（2023·全国·高三专题练习）设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值.题型二：根据极值、极值点求参数例4．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的极小值为，则（

）A． B．1 C． D．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（

）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．变式9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．题型三：求函数的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为__________．例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________.变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是的一个极值点．(1)求b的值；(2)当时，求函数的最大值．题型四：根据最值求参数例10．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（

）A． B． C．1 D．例11．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（

）A．7 B． C．3 D．4变式13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用例13．（2023·黑龙江大庆·校联考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（

）A．在上是增函数 B．当时，取得最小值C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数例14．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线恰好经过点．(1)求；(2)已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的一个极值点．(1)求实数a的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.题型六：不等式恒成立与存在性问题【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)若，，求的最大值．例17．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足恒成立，则的最大值为（

）A．3 B．4 C． D．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．变式15．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（

）A．1 B． C． D．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．是的极小值点 B．是的极小值点C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）函数的极值点的个数是（

）A． B． C． D．无数个5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上递增 B．函数无极小值C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为36．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最小值，则（

）A． B．1 C． D．27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（

）A． B．1 C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（

）A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为110．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C．时，取得最大值 D．时，取得最小值12．（2023·全国·高三专题练习）【多选题】已知函数，则（

）A．时，的图象位于轴下方B．有且仅有一个极值点C．有且仅有两个极值点D．在区间上有最大值三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______.14．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．15．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则____________．16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取极值，则__________．四、解答题1