2023-2024学年江苏省南京师范大学灌云附属中学高一上学期期初摸底考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat10页2023-2024学年江苏省南京师范大学灌云附属中学高一上学期期初摸底考试数学试题一、单选题1．若集合，则集合中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据条件，直接写出集合，即可得到结果.【详解】由，即，所以集合中的元素个数为5个，故选：C.2．满足的集合A的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据已知条件可知集合中必有，集合还可以有元素，写出集合的所有情况即可求解.【详解】因为集合满足，所以集合中必有，集合还可以有元素，满足条件的集合有：，，，，共有4个，故选：A.3．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果.【详解】由，得到，又不等式的一个充分条件为，所以，故选：C.4．已知集合，，且，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，再根据条件，即可求出结果.【详解】因为，所以，又，，所以，得到，故选：A.5．已知两个正数a，b满足，则的最小值是A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．【详解】根据题意，正数a，b满足，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是25．本题选择C选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据不等式性质、基本不等式成立的条件逐个选项分析可得答案.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误.故选：C7．已知函数的两个零点中，一个零点大于2，另外一个零点小于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意画出函数的草图可知，，由此即可得解.【详解】如下图所示：

不妨设函数的两个零点分别为，由于抛物线开口向上，所以由题意有，整理得，解得，即实数m的取值范围是.故选：B.8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两个人步行速度、跑步速度均相同，步行速度小于跑步速度，那么下列结论中正确的是（

）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两个人同时到教室 D．谁先到教室不确定【答案】B【分析】根据题意求出两人所用时间，再运用差比法进行求解判断即可.【详解】设两个人步行速度、跑步速度分别是为，且，甲、乙两人同时从寝室到教室的时间分别为，寝室到教室的距离为，所以有，，，因为，所以，因此乙先到教室，故选：B二、多选题9．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件D．“是无理数”是“a是无理数”的充分条件【答案】CD【分析】根据充分性和必要性的定义逐一判断即可.【详解】A：当时，显然成立，但推不出，因此本选项不正确；B：当时，显然，但是推不出，因此本选项不正确；C：因为，所以本选项正确；D：由是无理数能推出a是无理数，所以本选项正确，故选：CD10．已知集合，，若，则实数a的值可以是（

）A．0 B． C．2 D．【答案】ABD【分析】先求出集合，再利用条件，即可求出结果.【详解】由，得到或，即，因为，由，当时，无解，此时，满足题意，当时，得到，所以或，得到或，故选：ABD.11．已知，则的值可以是（

）A．4 B．10 C． D．3【答案】ABC【分析】分和两种情况，利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为，当时，，当且仅当时，取等号，当时，，当且仅当时，取等号，所以选项ABC满足题意，故选：ABC.12．已知且，则下列不等式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于选项A，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以选项A正确；对于选项B，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以选项B正确；对于选项C，当时，满足，此时，所以选项C错误；对于选项D，因为，当且仅当，即时取等号，所以选项D错误.故选：AB.三、填空题13．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为.【答案】【分析】由题意知是方程的两根，根据韦达定理可得出，代入解不等式即可求出结果.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以，是方程的两根，由韦达定理得，，得到，代入，得到，即，令，因为，所以的解集为，故答案为：.14．化简的结果为.【答案】【分析】根据根式的性质化简即可.【详解】.故答案为：.15．设a为实数，，，若，则a的取值范围是.【答案】【分析】直接根据集合的关系结合数轴得到不等式即可.【详解】因为，，，所以.

故答案为：16．若“，恒成立”是真命题，则实数m的最大值是.【答案】2【分析】根据条件，将问题转成在区间上恒成立，构造函数，求出在区间上的最小值即可求出结果.【详解】因为对，恒成立，即在区间上恒成立，令，易知，当时，，所以，得到，故答案为：2.四、解答题17．设m为实数，，.若，求m的值.【答案】或【分析】由分类讨论求出，结合集合互异性确定取值即可.【详解】因为，当时，，，，满足题设；当时，，，，满足题设，故或18．解下列关于x的不等式.(1)(2)【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）令，将不等式转化为t的一元二次不等式先求t的范围再求x的范围；（2）将原式分解因式再对参数进行讨论可解不等式.【详解】（1）令得，解得，又因为，所以，所以解得，即；（2）原式分解因式得，当时，得，当时，无解，当时，得.19．设全集，集合，集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.【答案】【分析】由“”是“”的充分不必要条件，可得，从而可得不等式组求解即可.【详解】“”是“”的充分不必要条件可得，则且不能同时取到等号，解得满足要求，故实数a的取值范围是.20．（1）若方程在上有两个根，求a的取值范围.（2）若函数的两个零点都在内，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）利用一元二次方程根的判定方法即可求出结果；（2）利用二次函数的图像，借助图形来确定函数的零点.【详解】（1）方程在上有两个根，所以，即，解得或，所以a的取值范围为或.（2）因为的两个零点都在内，所以且，同时，即，解得，所以a的取值范围为.21．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为akw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?【答案】(1)；(2)0.60元/kw·h.【分析】(1)根据给定条件列出下调电价后年用电量的表达式，再列出收益函数关系即可作答.(2)由(1)的结论结合给定的条件列出不等式组，求解即可作答.【详解】（1）设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知，用电量增至()kw·h，电力部门的收益为：，所以电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式是：.（2）依题意，，化简整理得：，解此不等式组得：，所以当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.22．已知.(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由二次函数对